3. Dimostriamo ora le due proposizioni a) e b) ammesse nel § 2. 



a) Per dimostrare che si può passare con continuità dalla / alla f x 

 muovendosi entro la famiglia delle f, nell'ipotesi che i due gruppi dei 

 punti di contatto G e Gr, siano equivalenti, basta osservare che la serie 

 segata dalle curve f (fuori dei punti doppi di xp) è completa, e, pertanto, 

 ogni gruppo equivalente a G , contato ti volte, dà un gruppo segato da 

 una /% e quindi è costituito dai punti di contatto w-punto di una f. 



Pertanto, potendosi passare con continuità da G a Gì entro la serie 

 lineare che li contiene, si può passare per continuità da f a f\ entro la 

 famiglia delle curve f. 



b) Per dimostrare che Uft(Gi), somma degli integrali U h abeliani 

 calcolati nei punti di G x , è congrua, rispetto ai periodi, a 



n n 



ricordiamoci che Gì è ottenuto partendo da G„ , facendo percorrere a P il 

 ciclo 



C = 2 — «i Bi + 1 — t Ai , 



e che i gruppi «G ed nGrj sono equivalenti, e sono inoltre equivalenti al 

 gruppo variabile formato da 



P + (« — \)Q + n2U h . 



Teniamo presente il teorema d'Abel il quale dice che: condizione perchè 

 due gruppi siano equivalenti, è che siano uguali le somme degli integrali 

 abeliani nei gruppi stessi; osserviamo, poi, che, quando P descrive C, la 

 somma degli integrali abeliani TJ h , calcolata in P, diminuisce di 



l X 



quindi, restando Q fìsso, la somma degli integrali XJ h calcolati nei punti R ft 

 deve aumentare di 



n n 



pertanto, essendo 



U fc (G ) = , 



< 5 



c. d. d. 



