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Sapponiamo, che data una quantità positiva «, estremamente piccola, 

 si abbia sempre 



(1) | t/X, - Xif + (Ti - yi f + (Zi - ZiY I O ; (^ = 1,2, 3) 



10 dirò allora, brevemente, che le traiettorie G l C 2 C 3 si discostano a meno 

 di e da quelle Ki K 2 K 3 dei corrispondenti punti ideali. 



Ciò posto, nella presente Nota io dimostrerò che, qualunque siano gli 

 urti, hanno luogo le tre eguaglianze : 



(2) limCi=Ki; (»=1,2,8) 



r—O 



Adoperando allora il linguaggio ordinario, potremo dire che, se le sfere Si 

 sono di raggio infinitamente piccolo, esse descrivono, non ostante gli urti, 

 le stesse traiettorie dei corrispondenti punti ideali. 



La limitazione del Sundman apparirà quindi superflua. 



Principì su cui poggia la ricerca. 



3. Per maggiore chiarezza, faccio procedere il seguente 



Lemma. — Consideriamo le tre sfere di raggio r, di cui sopra ab- 

 biamo parlato. 



Consideriamo un intervallo finito di tempo: 



(3) O^^T, 



e supponiamo di avere costruito nello spazio gli archi <? iT c 2T c 3T , k 1T # 2T k 3T , 

 descritti in questo intervallo dai centri delle tre sfere e dai punti corri- 

 spondenti. 



Io dico che, essendo T finito, è possibile di assegnare al raggio r delle tre 

 sfere un valore diverso da zero, e tale che esse si urtino soltanto allorché 

 la traiettoria del centro dell'una passa rigorosamente per il centro dell'altra. 



Dimostrazione. — Studiamo le relazioni intercedenti tra # 1T e & 2T ; 



11 lettore intende che ragionamenti analoghi potrebbero ripetersi per le 

 coppie k 2T ^3t > #3t #it • Trascurando, per ora, il caso (che esamineremo da 

 parte) che gli archi k 1T # 2T abbiano qualche tratto in comune, essi, in ge- 

 nerale, si tagleranno in un certo numero di punti P , Q , E ecc. 



Di più esisteranno, su k ÌT e k 2T , delle coppie di punti Gì G 2 , H,H 2 , 

 LiL 2 ecc., tali che le distanze Gì G 2 = X g , Hj H 2 = X h , L 1 L 2 = M ecc. 

 siano minime (non nulle), rispetto alle mutue distanze dei punti imme- 

 diatamente precedenti e seguenti. 



Per il nostro scopo dobbiamo considerare come una sola tutte quelle 

 coppie GiG 2 , NiN 2 i cui punti presentino distanze uguali, X g = X n (') ecc. 



( l ) Quindi, se kn e k av presentassero nel loro percorso, ad es., due archi circolari 

 concentrici, le infinite coppie di eguale distanza, ivi esistenti, dovrebbero, per il nostro 

 scopo, essere considerate come una coppia sola. 



