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al tratto g>, se esso viene percorso in tempi diversi dai due mobili, ciò non 

 reca alcun danno. In caso contrario, se su g> hanno luogo urti, questi sod- 

 disfano certamente alla nostra asserzione, percorrendo i due centri la stessa 

 traiettoria. Il lemma è dunque provato. c. d. d. 



Teorema fondamentale. 



4. Dimostriamo ora il seguente 



Teorema. — Consideriamo gli archi di traiettoria 



C j x 6 2t ^*3T i "*1T &1T ^3T 



descritti nell' intervallo = t = T dai centri delle nostre sfere S, S 2 S 3 , 

 e dai corrispondenti corpi ideali del Sundman. Sia e una quantità arbitraria, 

 piccola a piacere. Io dico che, se T è finito, è possibile di assegnare alle 

 sfere S, S 2 S 3 un raggio r, diverso da sero, e tale che c lT c iT c 3T si di- 

 scostino da k lT k ÌT k 3T a meno di e . 



Dico, di più, che, mantenendo fisso T, e facendo tendere r a zero, si ha: 



(8) lim£ = 0. 



Dimostrazione. — Cominciamo intanto dal ricordare che, nell' istante 

 iniziale, le sfere Si S 2 S 3 non hanno, per ipotesi, alcun moto di rotazione. 

 Notiamo, allora, che, essendo per es. Si omogenea, le forze d'attrazione agenti 

 sui punti di Si si ridurranno ad una risultante unica e passante per il suo 

 centro. Se la S t viene ad urtarsi con S» , e supponiamo la superficie senza 

 attrito, la reazione F, esercitata da S 2 su S t , sarà perpendicolare al piano 

 tangente comune, condotto per il punto di contatto: la F passerà perciò 

 per i due centri. Le nostre sfere quindi non acquisteranno mai alcun moto 

 di rotazione: e noi non dovremo perciò temere quei fenomeni perturbatori, 

 dovuti a moti rotativi, i quali potrebbero modificare le leggi dell'urto, e 

 immagazzinare una parte dell'energia cinetica del sistema. 



Ciò posto, scegliamo r in modo tale che nell'intervallo — / — T 

 l'urto avvenga soltanto in quei punti in cui la traiettoria del centro di 

 una sfera passa rigorosamente per il centro dell'altra. Essendo T finito, a 

 norma del precedente lemma, il valore di r risulterà finito e diverso 

 da zero. 



Sia t* l'istante in cui avviene il primo urto; ad es., tra la sfera Si 

 e la sfera S 2 . Consideriamo il moto del centro di S 2 , rispetto al centro 

 di Si prendendo, pel momento, quest'ultimo punto come origine, e serven- 

 doci di un piano mobile a, passante per l'origine e per la tangente alla 

 traiettoria relativa del centro di S 2 . 



