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[servendosi cioè della teoria delle trasformate differenziali e integrali, sin- 

 golari, della (1)] ha raggiunto lo stesso scopo il prof. Nicoletti ( 1 ). 



Io mi propongo qui di risolvere il problema di Moutard con sole con- 

 siderazioni geometriche; esse gettano, mi sembra, una luce d'evidenza e di 

 intimo significato nell'eleganza delle formole del Darboux. In particolare 

 mi permetto di rilevare la costruzione delle equazioni ad invarianti uguali 

 fatta col solo sussidio di un bel teorema di Koenigs, del quale colgo l'oc- 

 casione per dare una dimostrazione di carattere proiettivo. 



2. È noto il significato geometrico della (1): se si considerano u -\- 1 

 sue soluzioni indipendenti come coordinate proiettive omogenee di un punto 

 in uno S n , questo punto descrive, al variare di £>i,£> 2 , un doppio sistema 

 coniugato rappresentato, sulla superficie luogo £>, dalle equazioni g 2 — cost. 

 (curve caratteristiche Qi) e Qi = cost. (curve q 2 ). La congruenza delle tan- 

 genti alle curve (o q 2 ) di <P ha (oltre d>) una seconda superficie focale 

 che rappresenta una delle trasformate di Laplace (P x (o <P_,) della (1). 



Perchè la successione delle trasformate della (1) sia terminata da una 

 parte almeno occorre e basta che sul nostro modello iperspaziale si verifichi 

 una delle circortanze seguenti ( 2 ) : 



gli spazi osculatori S h alle caratteristiche di un sistema nei punti 

 di una caratteristica dell'altro sistema passano per un punto; in tal caso 

 la successione si chiude da una parte dopo k trasformazioni, secondo il caso 

 generale ; 



le caratteristiche di un sistema sono contenute in spazi S ft , che rie- 

 scono osculatori ad una curva; la successione si chiude pure dopo k tras- 

 formazioni in un senso, secondo il caso di Goursat; 



se gli S k dell'ultimo caso passano per uno spazio fisso S^, la succes- 

 sione si chiude dopo k — \x trasformazioni ; si ha il caso misto. 



3. Proponiamoci di costruire tutte le successioni di Laplace terminate 

 in tutt' e due i sensi secondo il caso di Goursat. 



Siano le caratteristiche di un sistema di (T> immerse negli S h oscula- 

 tori ad una curva y t , e le caratteristiche dell'altro sistema in S k osculatori 

 ad una curva y 2 . È chiaro che d> è il luogo dei punti d' intersezione di 

 un S h osculatore a y, con un Ss osculatore a y 2 , e che quindi <P e tutta 

 la successione sta in un S„ ove n=h-\-k. Viceversa: date due curve ad 

 arbitrio in S }! , il luogo del punto d'intersezione di un S h generico oscula- 

 tore alla prima e di un S ft osculatore alla seconda è sempre una superficie tf> 



(') Kend. Acc. dei Lincei, ser. 5 a , voi. VI (1 seni. 1897), pp. 307-314 e pp. 334-341. 

 Per la teoria generale delle trasformazioni della (1) vedasi pure del Nicoletti: Sulla 

 trasformazione delle equazioni lineari del secondo ordine con due variabili indipen- 

 denti (Ann. Scuola norm. sup. di Pisa, 1897). 



( 2 ) Vedasi la mia Memoria: Sull'equazione di Laplace (Rend. Circ. mat. di Pa- 

 lermo, tom. XXXIV, 1912), parte I. 



