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con un doppio sistema coniugato ? Per vederlo, basterà dimostrare che le 

 tangenti a due curve segate su due S h , infinitamente vicini, dagli S h , sono 

 incidenti a coppie. Ma ciò è chiaro se si pensa che una tangente ad una 

 curva di S h è segata dallo S fc+ i congiungente due S ft infinitamente vicini: 

 le due tangenti richieste sono segate dallo S ft+1 su due S h infinitamente 

 vicini, cioè stanno nello S h+1 loro congiungente. Appartenendo ad un S A+1 

 e ad un S A+ , di S„ {a = h-\-k), stanno nel loro piano d'intersezione: 

 quindi effettivamente s'incontrano. Dunque: 



Per costruire la piti generale successione di Laplace chiusa dalle 

 due parti secondo il caso di Goursat, l'asta considerare due curve qual- 

 siasi di S„ : il luogo del punto d' intersezione di un S h osculatore alla 

 prima e di un S ft osculatore all'altra, con la' condisioue h -j- k = », è 

 una superficie Q> della serie. Per ottenere tutte le superficie della succes- 

 sione, basta far variare h da ad n 



Nel caso che una o tutt' e due le curve scelte degenerino, la succes- 

 sione si chiude da una o da tutt' e due le parti, presentando il caso misto. 



4. Per costruire le successioni più generali chiuse da tutt' e due le 

 parti secondo il caso generale, consideriamo due curve yi • 7z qualsiansi in 

 S„, fra loro in posizione generica, e consideriamo inoltre gli S h+li +i congiun- 

 genti S/, osculatori alla prima curva, con S h osculatori alla seconda, e ta- 

 gliamo poi la configurazione, così ottenuta, di oo 2 S v (v = h -j- k -J- 1), con 

 un S„_^. Si ottiene una superficie <P con un doppio sistema coniugato, la 

 cui successione di Laplace è chiusa da tutt' e due le parti secondo il caso 

 generale. Infatti, se in un punto di y 1 si considera, oltre allo S ft , lo S v oscu- 

 latore, questo taglia S„_„ in un punto per il quale vengono a passare gli 

 S h+l osculatori alle curve di (P nei punti di una curva q 2 . Altrettanto 

 avviene scambiando l'ufficio delle due curve. 



5. Interpretiamo analiticamente questi risultati. 



Le due curve Yì » li del n. prec. siano individuate proiettivamente dalle 

 due equazioni lineari omogenee, d'ordine n -j- 1 , 



(2) a n+l x + oe n x a) + 



(3) §n+iy + Pny w + 



( l ) Se le curve che terminano la successione dalle due parti coincidono, la super- 

 ficie # è luogo delle intersezioni degli e degli Sh osculatori ad una stessa curva. In 

 particolare, per n = 4 , h = 2 e A = 4 ; e se la curva è la quartica razionale normale, si ha 

 come superficie <f> del tipo esaminato la più generale proiezione in S 4 della superficie di 

 Veronese già ^incontrata 'dal prof. Castelnuovo (Atti Ist. veneto, ser. 7 a , tom. II, 1889) 

 come superficie singolare di un sistema lineare oo* di complessi lineari di rette, e dal 

 prof. Fano come superficie con co 3 trasformazioni proiettive in sè (Mem. Acc. di 'l'orino, 

 s. 2 a , tom. XLVI, 1896). 



