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i coefficienti della prima essendo funzioni della sola j^; quelli della seconda, 

 della sola q 2 - S'intende che i punti di y l o di y 2 hanno per coordinate proiet- 

 tive omogenee n -f- 1 soluzioni indipendenti della (2) o della (3). Lo spazio 

 congiungente un S h osculatore a /, e un S» osculatore a y 2 è individuato 



dai punti x , x M , ... , x m , y , y a) , ... , y°° . Se si tagliala configurazione 

 di Laplace (') degli Sh+n+i con lo S„_„ di equazioni X\ = , ... , x-, = 0, si ha 

 ima superficie <S> , e le coordinate dei suoi punti si estraggono dalla matrice: 



(4) 



as, 









^ , 



■ <' 



x°\ . 



. . .T 0) 





. . -* 



ih) 



«Li • 



x° l) 





• • y-> 





• • y n +i 



^ • 



■ ■ y? 



yZ ■ 



cu 



"n-t-1 



y? ■ 



• ■ y. 



yZ ■ 





(r = A + A + 1 



tenendo fisse le prime v colonne. Questi determinanti sono soluzioni della 

 piti generale equazione di Laplace la cui successione termina dalle due 

 parti secondo il caso generale. Le equazioni della successione si ottengono 

 dando ad Ti tutt' i valori da ad n ( 2 ). 



Analogamente si procederebbe negli altri casi di chiusura. 



6. Consideriamo il caso in cui la (1) abbia gli invarianti ( 3 ) 



H 



-{-ab 



K = — + ab - c 



uguali. La caratteristica geometrica di questo fatto è espressa dal teorema 

 di Koenigs, che ora dimostriamo ( 4 ). Sia x un punto generico di <f> : i punti 



(') Cfr. la mia Nota : Sur les configurations de Laplace (Compt. rend. Acad. de 

 France, toni. 156, février 1913). 



( 2 ) Darboux, Lecons sur la théorie généraìe des surfaces, voi. II (1889), eh. VI, 

 n. 385. 



( 3 ) Darboux, loc. cit., voi. II, cb. II n. 326 ; bo adoperato per gli invarianti le 

 lettere maiuscole, invece che le minuscole come nel Darboux, per evitare confusioni con 

 quel che precede e segue. 



(*) Darboux. loc. cit., voi. IV, pag. 878. La dimostrazione del Darboux è d'indole 

 metrica; una dimostrazione proiettiva era stata annunziata da Tzitzéica, ma, per quanto 

 so, non è stata pubblicata. 



