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Condizione necessaria e sufficiente perchè esista una conica oscula- 

 trice in x" x alta curva q 2 e in x 1 alla curoa q y \ è che gli invarianti 

 della (1) siano uguali: H = K. 



Questo è il teorema di Koenigs. 



7. Occupiamoci ora della costruzione di tutte le equazioni ad inva- 

 rianti uguali con integrale esplicito. 



Osserviamo, subito, che, essendo ad invarianti uguali l'equazione, la suc- 

 cessione termina da tutte due le parti della (1) dopo lo stesso numero di 

 trasformazioni e presentando lo stesso caso. Supponiamo sia quello di Goursat. 

 Come s' è detto al n. 3, la superficie <P che si considera è luogo dei punti 

 d' intersezione degli S h e degli S ft osculatori a due curve di un S h +k \ 

 poiché nel nostro caso h = k. <i> va considerata in uno spazio di dimen- 

 sione pari, S„ = S 2ft . Bisogna ora sfruttare, per caratterizzare <2>, le due con- 

 dizioni : che le caratteristiche di <P sono in S osculatori a due curve y, , y 2 , 

 e che esiste la conica di Koenigs in ogni suo piano tangente. 



Dalla prima condizione segue che le curve q-, su #i appartengono agli 

 Sh-i osculatori alla curva yi (su cui varia soltanto ? ( ), e le curve Qì di <2>_i 

 appartengono agli S ft _i osculatori a y 2 (su cui varia soltanto q 2 ). Per sfrut- 

 tare la seconda condizione, cerchiamo il luogo della conica di Koenigs al 

 variare di x su <X>. Sia M il punto di y x il cui S h osculatore contiene la 

 curva q 2 passante per ce, e il cui S h _i osculatore contiene la curva q 2 (di d>i) 

 passante per x 1 , ed N il punto analogo su y t . 



Consideriamo una qualunque ipersuperficie quadrica Q passante per gli 

 S A _] osculatori a y x in tre punti infinitamente vicini M . M' , M" . e tan- 

 gente alla curva q 2 di (T>_, in x~ l . 11 piano tangente in x a <P sega Q in 

 una conica che è osculatrice in x x a (di d> r ) e tangente in aa~ x a q 2 

 (di CP_i). Per il teorema di Koenigs detta conica, quindi Q, è osculatrice in 

 x~ x a Qì . 



Facciamo variare x~ l su q 2 (di <£_i): la conica di Koenigs varia man- 

 tenendosi tangente alla posizione precedente e osculatrice alla Q in punti 

 della curva q 2 passante per x x (giacente tutta su Q). Poiché la conica di 

 Koenigs relativa a x~ l sta su Q, vi stanno anche tutte le posizioni succes- 

 sive, quindi pure la curva q 2 per x~ x . 



Ora facciamo variare la curva Q t e consideriamone h posizioni infini- 

 tamente vicine. Queste h curve q 2 appartengono ad una stessa quadrica, se 

 una ne esiste passante per h -f- 2 S;,_, osculatori a X x in M e in punti infini- 

 tamente vicini e per due S h -i osculatori a / 2 in N e in punto infinitamente 

 vicino. Poniamo di aver dimostrato l'esistenza di una tal quadrica Q: gli S ft _i , 

 in cui si trovano le curve di <P_, , incontrano almeno in h punti (infili, vicini, 

 sulle h curve q 2 ) la Q. Ma due di essi sono contenuti, per costruzione, sulla 

 quadrica Q quindi vi appartengono tutti. Q contiene dunque tutti gli S h _i 

 osculatori a scambiando <^_i con <P, , si vede che Q contiene anche tutti 

 gli S h _i osculatori a y x (poiché ne contiene già ft-j-2). 



