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Rimane da vedere se esista una quadrica soddisfacente alle condizioni 

 imposte. Perchè un Sh_, appartenga ad una quadrica di S„ = S 2ft , occorre 



che vi appartengano — ^~ suoi punti; poiché due osculatori suc- 

 cessivi si tagliano in un S fc _ 2 che pure deve appartenere alla quadrica, si 

 hanno, per questo, r — — condizioni; quindi, ad esprimere che lo S/,^ 



appartiene alla quadrica, occorrono più. soltanto h condizioni. Sicché -gli 



Mfi i) 



A-j-2S ft _! osculatori successivi a y, impongono -\-h(h-\-2) con- 



dizioni. Analogamente i due S h -i osculatori a y 2 impongono — — — -f- 27? 



u 



condizioni. In totale si hanno 



h(h — 1) + h(h + 4) = h(2h + 3) = *(* + s ) 



condizioni, cioè appunto tante quante bastano per individuare una quadrica 

 in S„ ('). Raccogliendo, abbiamo: 



le curve y t , y 2 , insieme con le loro sviluppabili fino a quelle costi- 

 tuite dagli Sfc_i osculatori, stanno sopra una stessa quadrica Q; c. v. d. 



Siccome non ci sono altre condizioni da sfruttare, si è certi che, sce- 

 gliendo in questo modo y, e y 2 , si ha, come luogo dei punti d' incontro 

 degli S ft osculatori, una superficie d> ad invarianti uguali, la cui successione 

 di Laplace si chiude dalle due parti. Infatti il piano tangente in un punto x 

 taglia la quadrica Q in una conica che per costruzione riesce osculatrice 

 in x x ad una curva , e in x~ l ad una curva q 2 ; quindi deve coincidere 

 con la conica di Koenigs, e perciò l'equazione ha invarianti uguali. 



8. Per tradurre analiticamente il resultato, facciamo ancora qualche os- 

 servazione relativamente alle curve yi,y 2 : quel che si dice per una, vale 

 anche per l'altra. Poiché gli Sfc_, osculatori alla y, sono contenuti in Q, 

 gli S„_, osculatori a y x nei suoi punti sono gli iperpiani ivi tangenti a Q. 

 Infatti, lo S h osculatore in un punto è polare dello S ft _i osculatore, e così di 

 seguito (si noti che anche questo fatto è essenzialmente legato alla parità 

 dello spazio, cbè in uno spazio dispari non sarebbe possibile costruire curve 

 come quelle qui richieste). Rappresentiamo ancora y 2 con la (2) : dev'essere 

 anzitutto n = 2h. Inoltre, se vogliamo ottenere enti reali, l'equazione della 

 quadrica Q riferita ad un (n -f- l)-edro autopolare può scriversi: 



x\ — f- a'ò ~\~ ' ' ' ~\~ — #7ì-t-i Xh+ì • ■ "£ 2 &+i — . 



( l ) Il fatto che questa quadrica contiene S h -i osculatori a curve (y t e y a ) è possibile 

 solo perchè l'ambiente ha dimensione pari. Vedi per es. Bertini : Geometria proiettiva 

 degli iperspazi (Pisa, Spoerri, 1907), cap. 6, n. 18. 



