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Se allora si considerano tutti i piani rispetto ai quali il modulo del 

 momento del sistema ha un dato valore positivo m , essi inviluppano una 

 quadrica d'equazione (Astat., n. 99): 



(16) [ 2 {M — G) X(to 2 — K<f.<r)~ l (M— G) = l, 



la quale è di rivoluzione intorno alla retta centrale, perchè dalle (8) segue 

 (A. V., pag. 166): 



(m 2 — Kc . a)' 1 — 



= f 2 r 2 1 iTi H(ii >h) + ^i H(i 2 , i 2 ) + — 2 H(Ja , h)~] ; 

 ' [_m 2 — pY» to 2 1 m 2 J 



da quest'equazione si trae, inoltre, che il quadrato del semiasse di rotazione 



della quadrica è — — p z , ed -- è il quadrato del parallelo principale. Da 



tali espressioni risulta, ancora, che le quadriche (16), al variare di m, for- 

 mano un sistema di quadriche omofocali, le cui linee focali si ottengono 

 ponendo successivamente p 2 f 2 , e al posto di m 2 ; esse sono il circolo 

 focale e la retta centrale. I fuochi principali (') su questa sono i punti 

 doppi dell'involuzione (di Minchin) del n. 2; e non sono, quindi, reali. 



13. Un asse centrale arbitrario r (10) è parallelo al vettore j 3 (od f ), 

 e passa per il punto A = G — pii X j 3 . jj , la cui omografia, per le (4) e 

 (7), è: 



a A =pf[E(h JO-HiXja.HCj.Js)]. 



D'altra parte, i piani passanti per l'asse centrale r, ossia per Aj 3 , si 

 ottengono facendo variare cp nell'espressione A\u = A\{cos ^pjj -j- sen spj 2 )- 

 Perciò, fra i piani uscenti da tale retta, quelli il cui quadrato del momento 

 ha un valore dato m 2 , corrispondono agli angoli y> soddisfacenti alla rela- 

 zione [g a (cos <jpji+ sen gj. 2 )] 2 = m 2 [(cos g>) 2 -{-(sen g>) 2 ], cioè all'equazione 

 di secondo grado in tang y> : 



(17) lp 2 f 2 (h X j 2 ) 2 — m 2 ] (tang g>) 2 + 2^ 2 / 2 i 1 X j, . U X j 2 tang <p + 



+ ff z E(ii X j:) 2 -f (i, X j 3 ) 2 ] - m 2 = , 



alle cui radici corrispondono i piani A\u, per la retta r, tangenti alla 

 quadrica (16). 



(*) Ved., per es., L. Bianchi, Lezioni di geometria analitica, Pisa, Spoerri. 1915, 

 § 213, pag. 531. 



