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Ora, osserviamo che : 



1°) Il prodotto delle due radici di questa equazione sarà — 1 quando 

 (e solo quando) è nulla la somma dei coefficienti estremi, cioè è 



fP C(i. X hY + (ii X j,) 2 + (i, X j 3 ) 2 ] - 2m 2 = : 



ossia, 2m 2 — p 2 /' 2 . 



2°) Le due radici dell'equazione (17), corrispondente ad un valore 

 m, di m, saranno uguali alle inverse, cambiate di segno, delle radici della 

 stessa equazione (17) per m = m 2 , quando (e solo quando) il primo ed il 

 terzo coefficiente di detta equazione, per m = m x , sono rispettivamente opposti 

 al terzo ed al primo coefficiente della medesima equazione per m = m 2 , 

 cioè quando è 



jt>V g (ii X j 2 ) 8 — m\ = -fP [Ì! X j,) 2 + (i, X j 3 ) 2 ] + m) , 



ove i,j indica una delle due permutazioni degli indici 1 e 2; ossia, quando 

 si ha m\ -f- m\ = p 2 p t ■ 



Si ha così, analogamente a quanto si dimostra per il caso generale ('), 



che : 



Considerando, nel sistema di quadriche omofocali (16), due iperbo- 

 loidi {che diremo associati) ad una falda, i cui raggi dei circoli di gola 

 siano eguali ai cateti d'un qualsiasi triangolo rettangolo avente per ipo- 

 tenusa il raggio del circolo focale {e quindi tali che il quadrato del 

 semi-asse, non trasverso, di uno, sia eguale al quadrato del raggio del 

 circolo di gola dell'altro), il complesso degli assi centrali del sistema 

 dato può riguardarsi come il luogo delle rette d'intersezione di due piani 

 ortogonali, uno tangente all'uno, e l'altro tangente all'altro dei due iper- 

 boloidi associali. 



In particolare, per m\ = m\ = \p 2 f 2 , o per l'osservazione l a ), si ha: 



// complesso degli assi centrali è il luogo delle rette d'intersezione 

 delle coppie di piani ortogonali tangenti all'iperboloide, ad una falda, di 

 rotazione intorno alla retta centrale, il cui circolo di gola è concentrico 

 al circolo focale; ed il suo raggio è eguale a quello del circolo focale mol- 

 tiplicato per l/j/2, e la cui sezione meridiana è un iperbole equilatera. 



14. La nostra deduzione permette ancora di riconoscere senza difficoltà 

 (come nel caso generale: cfr. Astat., n. 106) se una qualsiasi delle coppie 

 di piani ortogonali, indicate nei teoremi precedenti, è formata da piani 

 reali, poiché basta esaminare il discriminante dell'equazione (17). 



È chiaro intanto, per la (15), — contrariamente al caso generale — 

 che per un asse centrale, non appartenente alla congruenza di Minding, 



(') Ved., per es., E. J. Ronth, A treatise on analytical statics, voi. IT, Cambridge, 

 1892, pag. 199; oppure Astat., n. 106. 



