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non passa alcun piano reale tangente al circolo focale, come non passa 

 alcun piano reale tangente agli iperboloidi associati con un loro asse suffi- 

 cientemente piccolo. Si può invece riconoscere che: 



/ due piani ortogonali tangenti all'iperboloide ad una falda diansi 

 indicato [corrispondente ad m 2 = | p 2 f 2 nella (17)], ed uscenti da un 

 qualsiasi asse centrale, sono sempre reali. 



Con ciò si ha una effettiva costruzione geometrica reale di tutti gli 

 assi centrali del nostro sistema. 



Infatti, il discriminante dell'equazione (17), per m 2 = | p 2 f 2 , è 



fr [(i. x .ì.) 2 + (i. x ja) 2 - il [Ai x - j] - p 4 r(i x jo* (i, x = 



= P 4 r UhXhY (iiXj 3 ) 2 -|]; 



e siccome il massimo valore che può assumere il prodotto (i, X j 8 ) 4 (ij X j 3 ) 2 , 

 per un valore assegnato di iiXj,, è }[1 — (ii X ,ji) 2 ] , tale discriminante 

 è nullo solo quando ii X j, = 0, ed (i, X j 2 ) 2 = (i, X ,j 3 ) 2 = ~ , ed è nega- 

 tivo in ogni altra ipotesi. Nel caso ora indicato, è facile di riconoscere che 

 l'equazione considerata è identicamente soddisfatta, e corrisponde ad assi 

 centrali che incontrano il piano mediano nel circolo di gola dell'iperboloide 

 sopra considerato 



Dunque, le radici dell'equazione (17), per m 2 = \ p 2 f 2 sono sempre 

 reali; esse sono inoltre distinte e determinate finche l'asse centrale consi- 

 derato, A,} 3 , non è una generatrice dell'iperboloide indicato nell'enunciato 

 ultimo del n. 13, chè allora sono (com'è ovvio) indeterminate. 



15. Il complesso degli assi centrali rientra così, per l'ultimo teorema 

 del n. 13, nel complesso (caso particolare del complesso di Battaglini) che 

 i francesi (') chiamano senz'altro « di Painvin », il quale ( 2 ) ha studiato più 

 specialmente il luogo delle rette, per ciascuna delle quali si possono con- 

 durre due piani ortogonali tangenti ad un dato ellissoide ; ed è a tale studio 

 che si riferisce il Darboux (loc. cit., pag. 40). Peraltro, non tutte le pro- 

 prietà dedotte dal Painvin si possono riportare al complesso degli assi cen- 

 trali di un sistema astatico in cui, come nel caso qui studiato, comparisce 

 sempre un iperboloide ad una falda {Astat., n. 106); tanto più avendo 

 sopratutto riguardo, come fa il Painvin (loc. cit., pag. 97), agli elementi 

 reali. Così non si potrebbe rintracciare nel Painvin una costruzione del 

 complesso che corrisponda a quella da noi esposta. 



( r ) Ved.. per es., A Demoulin, Sur le complexe des droites par lesquelles on peut 

 mener à une quadrique deux plana tangents rectanqulaires, Bulletin de la Soc. Math. 

 de France, t. XX, 1892, pp. 122-132. 



C 2 ) Painvin, Étude d'u?i complexe du second ordre, Nouv. Ann. de Malliém. (2), 

 11. 1872, pp. 49-60, 106-107, 202-210, 289-297, 481-500, 529-539. 



