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Passiamo ancora osservare che dal n. 9 risulta che : il piano mediano 

 è il luogo dei punti il cui cono delle rette del nostro complesso si spezza 

 in una coppia di piani; mentre, nel complesso studiato dal Painvin, tale 

 luogo è una superficie d'onda (del 4° ordine), i cui punti reali sono tutti 

 al finito. 



Direzioni principali. 



16. Nel caso che si considera, si possono trovare facilmente le direzioni 

 principali (A. V., I, pag. 35) dell'omografia <J A del sistema (Pi, fi), relativa 

 ad un punto qualsiasi A. 



Infatti, dalle (14) e (17) segue, anzitutto, che c A trasforma in un vettore 

 nullo ogni vettore normale al piano AGii, od alla retta centrale, secondo 

 che A è fuori o sopra questa retta. 



Se A è fuori della retta Gi t , e s'indicano con i'.j' due vettori unitari- 

 ortogonali paralleli alle direzioni principali non nulle di a A ; con i,j i cor- 

 rispondenti vettori unitari-ortogonali paralleli alle direzioni principali di 

 Kff A ; e con a,b i relativi parametri principali (A. V., I, pag. 166), è 



<r A = «H(i',i) + £H(i'J). 



Poiché allora (A. V., I, pag. 166) R<r A = ab H(k', k) , il vettore 

 k = i A.j è parallelo al vettore j. 2 del n. 2; quindi i e j, normali a j 2 , 

 sono paralleli ad una delle coppie di vettori 1^ , h 2 (6), per un determinato 

 valore di 6: e perciò, in virtù delle (3), i vettori Kc A i = ai' , Kff A j = bj' 

 sono paralleli alle rette ortogonali AP,AQ, che vanno a due punti coniu- 

 gati nell'involuzione della retta centrale, oltreché alle direzioni principali, 

 non nulle, di <f A . 



Inversamente, se le due rette AP,AQ, passanti per due punti coniu- 

 gati (3) dell'involuzione della retta centrale, sono ortogonali, segue subito 

 che, per l'omografia a A = lA(P — A , hi) + H(Q — a , h 2 ), le direzioni di 

 tali rette sono principali. Cosi, anche per il n. 7, si ha: 



Ogni punto A della retta centrale ha oo 1 terne principali, ciascuna 

 formata delle direzioni della retta centrale e da due direzioni (nulle 

 per <J A ) ortogonali e normali a tale retta. 



Un punto qualunque A , fuori della retta centrale, ha come direzione 

 principale (nulla per <r A ) quella della normale al piano del punto e della 

 retta centrale, insieme con le direzioni della coppia (unica, per A fuori 

 del circolo focale, o fra le co 1 coppie siffatte, se A è su tale circolo) di 

 rette ortogonali, che vanno a due punti coniugati nell'involuzione (ellittica, 

 di Minchin) della retta centrale. 



17. Le direzioni indicate (doppie per la dilatazione ~K<r A .a A ) sono degli 

 elementi astatici del sistema (Pi, fi) rispetto al corpo (Astat.. pag. 12), ed 

 hanno perciò una importanza fondamentale nelle ricerche di astatica. Esse 



