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Ciò è bea noto (per i teoremi generali del Lebesgue circa le funzioni 

 monotone) per quanto riguarda il primo gruppo G . 

 Per un teorema di De la Vallee Poussin ( 1 ), è 



(1) 



u(x) — u(a) = I u (x) dx Y(x) 



J a 



u n {x) — u n (a) = u' n (x) dx -\- Vn(sc) , 



dove le Y(x) ,Y„(x) si definiscono nel modo seguente: Costruiamo infiniti 

 sistemi 2 OÌ , 2 l,ì , 2 (3) , ... di intervalli, a due a due senztt punti interni 

 comuni, rinchiudenti l'aggregato G. Siano ó{ r) , , , ... gli intervalli 

 di 2 lr) ; la somma delle loro lunghezze tenda a zero per r = co . Siano 

 y»»»^ le variazioni di n„ e di u in uno dei segmentini òff, o sua parte, 

 che appartiene all' intervallo (a , x). Poniamo 



ycr) __ y v m yen y cn 



fc Ti 



Il teorema citato dice che : 



Y(x) = lim V (r > ; Y n (x) = lini V^' 



r=oo 



Evidentemente 



donde 



(r) v~ ir) 



v „ = 1 , r = I y^. 



k k n 



Essendo le v%l positive, si possono nel terzo membro invertire i simboli di 

 sommatoria, cosicché 



(2) 



Z_ V nk I v n * 



Ora noi possiamo scegliere i 2 {r) in guisa che ogni ^ (r+1) sia interno 

 a 2 (r) . Con tale scelta, le V (r) , decresceranno al crescere della r, pure 

 essendo positive; e perciò è ultimo membro di (1) ha, per r = co , un 

 limite, che si può calcolare passando al limite termine a termine. Quindi 



(3) Y{x) = lim V « = lim J V™ X lim Y » ' = X V »(^) ■ 



(') De la Vallèe-Poussin, Cours d'analyse infinitésimale, voi. I, 2 a edizione, 1909, 

 pag. 269. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 27 



