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rotolante S è già intrinsecamente definita dalla proprietà: che il sistema co- 

 niugato comune alla S edalla S è quello corrispondente alle linee di curva- 

 tura di 2. e la sua determinazione effettiva discende da quella trasforma- 

 zione T m delle superficie isoterme che ho introdotto nella Memoria b), come 

 associata alla D m di Darboux. 



Nel caso particolare che la superficie isoterma 2, insieme con la sua tras- 

 formata 2 l , abbia la curvatura media costante (o nulla), la superfìcie roto- 

 lante S è una quadrica rotonda, ed il punto satellite un suo fuoco princi- 

 pale. Si ritrovano così nuovamente i risultati che provengono dalla inver- 

 sione dei teoremi di Guichard sulle deformate delle quadriche di rotazione ( 1 ). 

 Le generazioni, qui considerate, delle superficie isoterme generali come super- 

 ficie di rotolamento, ne costituiscono la naturale estensione ; solo resta da 

 trattare più da vicino lo studio delle corrispondenti coppie di superficie 

 applicabili, ciò che mi propongo di fare in seguito. 



In una prossima seconda Nota dimostrerò che per le superfìcie arap- 

 presentazione isoterma delle linee di curvatura, considerate quali inviluppi 

 di rotolamento, sussistono proprietà analoghe ed in certo modo duali di 

 quelle qui stabilite per le superfìcie isoterme. 



2. Premettiamo alcune osservazioni generali su quegli inviluppi di co 2 

 sfere (della teoria dei sistemi ciclici) sulle cui due falde 2 , 2 1 , si corri- 

 spondono le linee di curvatura; ed osserviamo in primo luogo che : 



Sulla superficie S, luogo dei centri delle sfere, alle linee dì curva- 

 tura delle due falde 2 , 2 X , corrisponde un sistema coniugato. 



Infatti le normali alla prima falda 2, dopo riflessione sopra S, si can- 

 giano nelle normali di 2 X ( 2 ); e poiché le sviluppabili delle due congruenze 

 di normali si corrispondono per ipotesi, esse tagliano, secondo un teorema 

 di Dupin, in un sistema coniugato la superfìcie riflettente S. 



Viceversa, pel teorema stesso di Dupin, se le normali di 2 tagliano 

 una superficie S in guisa che alle linee di curvatura di 2 corrisponda sopra S 

 un sistema coniugato, le sviluppabili della congruenza di normali si conser- 

 vano pei' riflessione, e quindi la superficie S è il luogo dei centri di oo 2 sfere, 

 di cui 2 è una prima falda dell' inviluppo, e la seconda, 2 X corrisponde a 2 

 per linee di curvatura. 



Esprimiamo ora analiticamente la condizione cui deve soddisfare il 

 segmento R di normale a 2, intercetto fra 2 ed S, affinchè alle linee di 

 curvatura di 2 corrisponda sopra S un sistema coniugato. 



Riferita la superfìcie 2 alle sue linee di curvatura (u , v), e mantenendo 

 le consuete notazioni, ricordiamo le equazioni fondamentali : 



(') Cfr. la mia Memoria: Sulle trasformazioni delle superficie a curvatura costante 

 [Annali di matematica, 3 a serie, toni. Ili (1899)J . 

 ( 3 ) Cfr. le mie Lezioni, voi. II, § 253. 



