— 308 — 



Ma, essendo soddisfatta la (A), ossia la (A*), ne risulta Dó = 0, cioè 

 il sistema (u , v) è coniugato anche su S , c. d. d. 



Se ora si osserva che, nelle nostre ipotesi, quando la superficie S rotola 

 sull'applicabile S, il punto satellite di S descrive la superficie 2, pos- 

 siamo enunciare sotto la seguente forma il risultato ottenuto : 



Se alle linee di curvatura di una superficie di rotolamento 2 cor- 

 risponde un sistema coniugato sulla superficie S d'appoggio, questo è il 

 sistema coniugalo comune alla superficie rotolatile S . 



5. Nella Nota 1) ho dimostrato che, per trovare le generazioni di una 

 data superficie 2 come superficie di rotolamento, basta riportare sulle sue 

 normali un segmento variabile R che soddisfi ad una certa equazione del 

 2° ordine, la quale, supposta riferita la 2 alle sue linee di curvatura u ,i> , 

 assume la forma (I) del n. 3 della Nota 1). Nelle notazioni attuali questa 

 equazione si scrive: 



m lM^\,i/i]B\ L/JL . JL\i 



K} iu\hiK -2>M/~ r -hv\h»R tv.) \ R 2 R \r 1 ^ r,f) ' 



ed ogni sua soluzione R fornisce, nella superficie S luogo degli estremi dei 

 segmenti R di normali a 2, la superficie d'appoggio in una corrispondente 

 soluzione del problema di rotolamento. 



Per venire all'oggetto proprio della presente Nota, supponiamo che la 

 superficie data 2 &ia isoterma; in tal caso si vedrà che la (I) ammette 

 soluzioni comuni dipendenti da quattro costanti arbitrarie coll'altra equa- 

 zione del 2° ordine (7), ossia 



~a 2 R 1 -òhi 7>R , 1 ìht dR 

 ~òu ~òv hi ~hv ~òu hi ~òu 1)0 ' 



la quale esprime (n. 2) che il sistema (u , v) è coniugato sulla superficie S 

 d'appoggio. E si osservi che, non presentando il sistema delle equazioni si- 

 multanee (I) (II) il caso d' involuzione, il numero di quattro costanti è ap- 

 punto il massimo possibile che può aversi per le soluzioni comuni a due 

 equazioni simultanee del 2° ordine ('). 



La ricerca di queste qo* soluzioni, comuni alle equazioni (I) (II) per 

 una superficie isoterma, si identifica colla integrazione del sistema differen- 

 ziale ordinario, lineare in cinque funzioni incognite, che il Darboux ha dato 

 nella citata Memoria sulle trasformazioni D m delle superficie isoterme. Ab- 

 breviamo la ricerca partendo dal sistema di Darboux ed interpretandolo sotto 

 il nuovo punto di vista. 



(') Cfr. Goursat, Lepons sur les équalions aux dérivées partielles du second ordre. 

 Tome II, chap. VI, n. 21. 



