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(ì. Essendo isoterma la superficie 2, introduciamo parametri isometrici 

 u , v , e poniamo, in conseguenza, 



|/E = j/G= e 8 . 



Il corrispondente sistema di Darboux nelle cinque funzioni incognite 

 X , fi , io , o , <jp , si scrive : 



.e 



(Dj 



7)M 



Dm 



l)fl 



Dm 



7)y 



7)0 e" 



~òv 



e-n, 



— « 

 "DM 



— A — — w + we 6 <r — we~ 9 « 



— e-" fi 



dove m è una costante arbitraria (non nulla). Il sistema (D) è completa- 

 mente integrabile e possiede l'integrale quadratico: 



i 2 -\- fi 2 -}- w 2 — 2ffi(p<r = cost. 



Per ottenere una trasformazione D m di Darboux, occorre scegliere i 

 valori iniziali (arbitrarli) delle cinque funzioni incognite, in guisa che la 

 costante nel secondo membro della equazione ora scritta sia nulla, e sia 

 quindi 



(D*) A 2 -f- {X 2 -f w 2 = 2m<p(J . 



Dopo ciò, se si riporta sulle normali di 2 un segmento R 



la superficie S, luogo degli estremi, è il luogo dei centri di un inviluppo 



