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(conforme) di sfere di raggio = E, di cui la prima falda è la superficie 2, 

 e l'altra S l è una seconda superficie isoterma che corrisponde a 2 per con- 

 servazione degli angoli e delle linee di curvatura, Da quest'ultima circostanza 



segue (n. 2) che il sistema (u , v) è coniugato sopra S: cioè E = — - sod- 



w 



disfa alla (II), come del resto è facile di verificare. 



Ma noi ora proveremo che. nel tempo stesso, questo valore E = — — 



w 



soddisfa anche a la (I), e per ciò la S è superficie d'appoggio in una genera- 

 zione della superficie 2 come superficie di rotolamento. Per compiere queste 

 verifiche, si osservi che qui le (4) diventano 



\ wr x ' \ wr« ' 



e formando colle (D) di Darboux le derivate di 



E = -*, 



io 



si trova 



^E _ l_ ^E _ n 

 ~òit 1 w ' ~òv 2 w 



La equazione (I) da verificarsi resta quindi 



JL h ì) + X (, t) = e .. j * _ • (J- + 1) ì 



e, eseguendo le derivazioni a sinistra mediante la (D) stessa, vediamo che 

 questa si cangia precisamente nella (D*) ed è quindi verificata. 



7. Le proprietà ora riscontrate nelle trasformazioni D m di Darboux. 

 combinate coi risultati dei numeri precedenti, possono formularsi geometri- 

 camente così: 



Si consideri un inviluppo conforme di sfere, le cui due falde 2,2^ 

 sono due superficie isoterme in trasformazione D TO di Darboux, e la super- 

 ficie S luogo dei centri delle sfere, flessibile ed inestendibile, trasporti seco 

 nelle sue flessioni i segmenti M M di normali intercetti fra 2 ed S. Esiste 

 una deformata S della S, per la quale i termini dei segmenti, prima distri- 

 buiti sopra 2 , vengono a riunirsi in un punto 0, e la deformazione è quella 

 che conserva coniugato il sistema (u , v) della S corrispondente alle linee 

 di curvatura di 2 , 2, . Facendo rotolare S„ sopra S, il punto satellite 

 descrive la superficie isoterma 2. 



