Si vede, adunque, che ad ogni trasformazione D TO di Darboux di una 

 superficie isoterma 2 corrisponde una generazione di questa 2 come super- 

 ficie di rotolamento, la superficie d'appoggio S essendo il luogo dei centri 

 delle sfere dell' inviluppo conforme. Quanto alla superficie rotolante, essa è 

 già intrinsecamente definita dalla sua seconda forma fondamentale, colle (9) 

 n. 4, e la sua determinazione effettiva si ha colla integrazione di una equa- 

 zione di Riccati, Per quanto è dimostrato nella Nota 1) al n. 8, la que- 

 stione si riconduce all'altra di ridurre a forma normale del ds' 2 della sfera 

 la forma differenziale quadratica 



(10) ds n = e^l— — -Yd«» + W — --Xdv\ 



che ha appunto la curvatura K = -j- 1. Ma si può ad essa dare un'altra inter- 

 pretazione geometrica, secondo i risultati della Memoria b), in quanto essa equi- 

 vale alla ricerca di un'altra superficie isoterma 2, trasformata della 2 per 

 la trasformazione T m associata alla D m di Darboux. E infatti questa nuova 

 superficie isoterma 2 ha l'elemento lineare 



ds 2 = ~ (du 2 + do 2 ) , 



e le curvature principali 



1 (pi (f 



Qi r x q 2 r 2 



onde appunto il suo ds' 2 sferico rappresentativo è quello dato dalla (10). 



8. Da ultimo dimostriamo che i risultati qui ottenuti per le superficie 

 isoterme nello spazio euclideo si trasportano inalterati al caso degli spazii 

 a curvatura costante. 



Nella Memoria b) ho dimostrato che le trasformazioni D m di Darboux 

 per le superficie isoterme 2 nello spazio di curvatura costante K (positiva 

 o negativa) dipendono da un sistema differenziale, affatto analogo al si- 

 stema (D) n. 6, nel quale sono solo da introdursi due modificazioni: 



1°) Nei secondi membri delle forinole per — , — deve togliersi il 



~ÒU ~òV 



termine K Q e 6 tp, lasciando le altre forinole inalterate; così: 



(11) — -4- — = 2me b o — e h w { — + — ) X — — a — 2K é>tt> . 



2°) L' integrale quadratico diventa, ora, 



X 2 -\- fx 2 -\~ tv 2 -{- Ko^ 2 — 2m(f(f = cost , 



