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considerare come costituenti un paragrafo introduttivo, di carattere necessa- 

 riamente elementare, alla trattazione sistematica di quel problema. 



Credo inutile di fare uno speciale richiamo delle definizioni e notazioni 

 adottate: sono quelle che il prof. Volterra adopera nei suoi lavori e nei 

 due volumi di lezioni, che i matematici ben conoscono. 



1. Sia 



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cioè F dipenda in modo ordinario da una funzione f(x) e dalle sue prime n 

 derivate, mentre f(x) dipenda a sua volta da tutti i valori di una fun- 

 zione fra e 1, nonché da una variabile x. Si può allora pensare F 

 come dipendente, oltreché da x, da tutti i valori che \p($) assume fra e 1. 

 Ammessa la derivabilità di F rispetto a f, / (n) , e supposto che /, 



considerata come funzione di tp, sia priva di punti eccezionali, vogliamo 

 calcolare la derivata funzionale di F rispetto a ip. 



Diamo a ifj(ì-) una variazione di segno costante e infinitesima in 

 un intervallo (/.« v) compreso fra e 1, e poniamo 



a = ! dt = incremento dell'area corrispondente alla linea t//(£) ; 



inoltre diciamo òf e óF le variazioni di / e F. Avremo, a meno di infini- 

 tesimi d'ordine superiore, 



dove r] indica un conveniente punto dell'intervallo (fiv); e quindi 



Dividendo i due membri per <r e facendo tendere tutti i punti di (fi v) 

 ad uno stesso punto ^ , otteniamo infine : 



Come caso particolare assumiamo 



(io f = p(/) , f=f\iwh\, 



