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Matematica. — Sopra una equazione integro-difer enfiale 

 del tipo ellittico. Nota di Luigi Sinigallia, presentata dal Socio 

 Y. Volterra. 



1. Le equazioni integro-ditt'erenziali del tipo ellittico sono state studiate 

 dal prof. Volterra ( ] ). Quella, però, che io qui voglio considerare, non è stata 

 trattata nè dal detto Autore, nè da altri. Ad essa sono applicabili i risul- 

 tati noti per le equazioni dello stesso tipo, quando si conosca la soluzione 

 fondamentale dell'equazione aggiunta: ed è la determinazione di tale solu- 

 zione che forma lo scopo principale di questa Nota. 



2. L'equazione di cui qui vogliamo occuparci è la seguente: 



(1) ^(t) + f J ^ Ut , X) + ^ M t ,T)\dv = 0, 



Diremo che la funzione u{x , y\ t) = u{t) pei valori di t compresi fra e T 

 è nell'area <t limitata dal contorno s, una soluzione regolare della (1) 

 quando soddisfa alla (1) e pei detti valori di l ed in tutti i punti (x , y 

 dell'area <x è finita continua assieme con le sue derivate prime e second 

 rispetto ad x , y . 



Collo stesso metodo tenuto dal prof. Volterra (loc. cit.) può dimostrarsi 

 che: a) ogni soluzione regolare u(t) della (1) è determinata nell'interno 

 dell'area a pei valori di t compresi fra e T, se si conoscono per gli 

 stessi valori di t i valori della u sul contorno s dell'area stessa: b) deno- 

 tando con n la normale esterna al contorno s, e ponendo 



ove 



J 2 u(t) = 



^uix <y\t) 

 l>x 2 



+ 



~ò 2 u(x . y t) 



l)U(l) 



in 



— u(t) 



Mt) i 



In 



(*) Volterra, Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications (Acta 

 Mathematica, toni. 35); Lecons sur les fonctions de lignes (Paris, 1913); Equazioni 

 integro-differenziali con limiti costanti (Rend. Lincei, ser. 5*, voi. 20, 1° sem. 1911). 



