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convergono in modo assoluto ed uniforme in ogni campo che non racchiude 

 il polo (a , b). Lo stesso accade per le serie delle derivate prime e seconde 

 rispetto ad x ed y dei termini della seconda delle serie (8). Concludiamo, 

 così che in ogni campo che non contiene il polo {a , b) le serie (8) sono 

 derivabili, termine a termine, due volte rispetto ad x e due volte rispetto ad y. 

 0. Posto ciò, si può verificare che la funzione 



co r '± fi 



U(x . y\t) == JJ(t) ¥(t) log r -f V >_ xp m - P , P ) fm- P , P {t , t) F(t) dt 



soddisfa alla (1), e che la funzione 



V(# , // 1 / , 6) = Y{t) = F(/) log r -f £. >_ ^m-j, , F(r) , P (* , rf* 



soddisfa alla (3) ; inoltre, se s è una curva chiusa contenente nell' interno 

 il polo (a , b), si ha 



| l— — -f- | — — /„(* , /) cos ax -\ — / ,(i , t) cos ny \dr ds = 



v s ' o/i Jt |_ «?/ _J ) 



= — 2?r F(/) . 



7. Volendo però determinare il valore della soluzione regolare della (1) 

 in un punto [a , b) dell'area a che assume valori assegnati sul contorno s 

 dell'area stessa, dovremo servirci del teorema di reciprocità. Ora, descrivendo 

 un piccolo circolo c interno all'area a col centro in {a , b), la (4) ci dà 



H s [> , V|0] + H a [«, V|0] = , 

 donde, facendo tendere a zero il raggio del circolo e, ricaviamo 



(9) u(a , 6 1 0) <= = — ^ ^ H s [u , V j »] . 



Il secondo membro della (9) contiene i valori di m e delle sue derivate 

 sul contorno s: per eliminare tali derivate, basta, al solito, conoscere una 

 soluzione regolare co della (3) e tale che Y -\- m sia nulla sul contorno s. 

 Si avrà allora la forinola 



(10) u(a , b\0) ^ „,(*) = ^ H s [> , V + »|0] . 



che contiene solo i valori di m sul contorno s. 



8. Se, invece della (1), si avesse l'equazione 



+ PS A»C .*) + ^ /«.(/ ■ *)! d% = X(x . y |o . 



. o ' ox i>y j 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 42 



