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numi integrando quel sistema differenziale ordinario che si presenta nelle 

 trasformazioni delle superfìcie d'area minima dedotte dalla inversione del 

 teorema di Guichard ( 1 ). Per dare ai risultati una migliore forma geometrica, 

 conviene introdurre le più generali trasformazioni delle superficie a rappre- 

 sentazione isoterma delle linee di curvatura, che corrispondono alle dette 

 trasformazioni delle superficie minime, e del resto si deducono subito da 

 queste particolari combinate colle trasformazioni di Combescure. Esse furono 

 trattate distesamente da Eisenhart ( 2 ), e verranno qui indicate come trasfor- 

 mazioni E w , ponendo in evidenza (come per le D m di Darboux) la costante 

 m da cui dipendono, che rappresenta il parametro del paraboloide rotondo 

 nel teorema di Guichard. Ogni superficie 2 a rappresentazione isoterma delle 

 linee di curvatura, fissata la costante m, possiede oo 3 superficie trasformate 

 2' della medesima specie per mezzo di una E m . La superficie 2 ed una 

 qualunque delle trasformate 2' sono le due falde di un inviluppo di sfere 

 a linee di curvatura corrispondenti, la cui superficie luogo dei centri delle 

 sfere indichiamo con S. Ora, se alla S, supposta flessibile ed inestendibile, 

 si immaginano invariabilmente legati, al modo di Beltrami, i segmenti di 

 normali alla 2 terminati alla superficie S, si vedrà che esiste una partico- 

 lare configurazione S„ della S, per la quale i termini dei detti segmenti, 

 prima distribuiti sopra 2, hanno per luogo, dopo la deformazione di S in S , 

 un piano n (normale ai segmenti stessi). Ed allora, se la S rotola sopra S 

 seco trascinando come satellite il piano n , questo verrà ad inviluppare la 

 superficie 2. Così: ad ogni trasformazione E^ di una superficie 2 a rap- 

 presentazione isoterma delle linee di curvatura corrisponde una genera- 

 zione di questa superficie come inviluppo di rotolamento. 



È importante poi di osservare che il sistema coniugato comune alla super- 

 ficie d'appoggio S ed alla rotolante S è quello che sulla S corrisponde alle 

 linee di curvatura di 2, precisamente come accadeva per le generazioni delle 

 superficie isoterme quali superficie di rotolamento, considerate nella Nota 

 precedente. La superficie rotolante S è, così, già intrinsecamente definita; 

 ma nel caso attuale si ha l'ulteriore semplificazione che la sua ricerca in 

 termini finiti non richiede più l'integrazione di un'equazione di Riccati, 

 effettuandosi con quadrature. 



Come esempio si trattano qui le superficie coi due sistemi di linee di 

 curvatura piane, e se ne trova una generazione come inviluppi di rotolamento, 

 nella quale la superficie d'appoggio e la rotolante sono superficie di trasla- 



(') Cfr. lamia Nota: Sulla teoria delle trasformazioni delle superficie d'area mi- 

 nima (questi Rendiconti, agosto 1899); od anche le mie Lezioni, voi. II, § 351. 



( ! ) Surfaces ivith isotkermal representation of tkeir lines of curvature and their 

 trans fior mations. Transaction of the American mathematical Society, tol. IX (1908) e 

 voi. XI (1910). 



