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quando S rotola sopra S il piano satellite n inviluppa la superficie 2, e 

 possiamo enunciare il risultato seguente, analogo a quello finale del n. 4 

 della Nota B): 



Se, nel rotolamento di una superficie S sopra una superficie appli- 

 cabile S, un piano n satellite ài S inviluppa una superficie 2 alle cui 

 linee di curvatura corrisponda sopra S un sistema coniugato, questo è 

 il sistema coniugato comune alla superficie d'appoggio S ed alla roto- 

 lante S , 



3. Da ora in poi supporremo che la superficie 2 abbia rappresentazione 

 isoterma delle sue linee di curvatura, e verremo a provare che in tal caso 

 le due equazioni del secondo ordine (I) e (II) hanno oo 4 soluzioni comuni. 

 Per questo introdurremo le trasformazioni E m di Eisenhart, deducendole geome- 

 tricamente da quelle particolari delle superficie minime. 



Avendo 2 rappresentazione isoterma delle linee di curvatura, esiste una 

 superficie d'area minima (determinata a meno di un'omotetia) con la stessa 

 immagine sferica delle linee di curvatura. A questa superficie minima, che 

 diremo 2, applichiamo una delle oo 3 trasformazioni che provengono dall'in- 

 versione del primo teorema di Guichard (Lesioni, voi. II, § 351), e sia 2' 

 la superficie minima derivata. Si sa che 2 , 2' sono le due falde di un in- 

 viluppo (conforme) di sfere e si corrispondono per le loro linee di curvatura, 

 per cui il sistema oo 2 di circoli normali a 2 , 2' in coppie di punti corri- 

 spondenti è un sistema ciclico. A questo sistema ciclico applichiamo una 

 trasformazione di Combescure (Lesioni, voi. II, § 416), che lo cangi in un 

 altro sistema ciclico, e di più in guisa che la trasformata della superficie 

 minima 2 sia la superficie data 2. In questo abbiamo ancora disponibile 

 una costante arbitraria, p. es. il raggio del circolo normale a 2 in un punto 

 iniziale. Nel nuovo sistema ciclico diciamo 2' la superficie corrispondente 

 alla superficie minima trasformata 2', colla quale 2' avrà a comune l'im- 

 magine (isoterma) delle linee di curvatura. Ora le due superficie 2 , 2' am- 

 bedue a rappresentazione isoterma delle linee di curvatura, sono alla loro 

 volta le due falde di un inviluppo di sfere e le linee di curvatura si cor- 

 rispondono sulle due falde. Il passaggio da 2 a 2' comporta, per quanto si 

 è visto, quattro costanti arbitrarie, e dà appunto una trasformazione E m . 



4. Per dare alle formolo delle trasformazioni E m la forma meglio adatta 

 al nostro scopo, introduciamo parametri isometrici u , v sulla sfera, e scri- 

 viamo il ds' 2 sotto la forma 



ds n = e" 26 (du 2 + dv 2 ) , 



onde il ds 2 della superficie minima 2 potrà scriversi 



ds 2 = e 2f > (du 2 + dv 2 ) . 



