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5 Ciò premesso, denotiamo con x,y,s le coordinate di un punto mo- 

 bile sulla superficie 2 ed avremo 



7>x _ ^X s 1x ~òX-, 



ossia per le (5) 



(8) ^ = ,-V 8 X 3 , ^-^r,'!,, 



dove i raggi principali di curvatura soddisferanno alle equazioni di Codazzi 



Siano ora x',y' ,s le coordinate del punto corrispondente sulla 2' de- 

 dotta dalla 2 con una E m (n. 3). Siccome la congiungente i punti {x , y , s), 

 (ce' , / , /) deve essere parallela a quella dei punti (£ , rj , £) , (£' , i/ , f) , 

 dalle (6) risulta che potremo porre 



(10) x = x -\- t (IX 1 + J aX 2 + wX :! ) 



colle altre due analoghe, dove rimarrà da determinare t in modo conveniente. 

 Per questo ci serviamo della condizione che la normale alla 2' deve avere 

 i coseni di direzione (K' s , Y3 , ZQ , e quindi sussistono le due relazioni 



sx; — = , sx; — = 0. 



Calcolando queste, mediante le (5), le (8) e le (A), si ottiene per t il 

 sistema lineare del primo ordine: 



(11) 



il = _ ( e e i + A \ r _ A 



Questo è un sistema completamente integrabile, e si ha con una qua- 

 dratura l'integrale generale dalla forinola 



(12) g>w . x = C — i j^(e~ 6 r 2 Arfw — e -8 r, /tdv) , 



con C costante arbitraria, l'espressione sotto il segno J essendo in effetto un 

 differenziale esatto, a causa delle (A) e delle (9). 



