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Le forinole (10) definiscono le superficie 2' trasformate della 2 per 

 una E m , dove figurano, oltre m, tre costanti arbitrarie. Si osservi che le 

 normali a 2 , 2' in punti corrispondenti s'incontrano in un punto {x , y , * ), 

 le cui coordinate sono 



(13) x = x -f- myx X 3 , 



e queste definiscono la superficie S luogo dei centri delle sfere, colle due 

 falde - . 2' dell'inviluppo. Il raggio R delle sfere è dato da 



(13*) R = m(pT. 



6. Ora passiamo a verificare che questo valore R soddisfa all'equazione 

 (I) n. 2, la quale nel caso attuale diventa 



liu \R -}- r 2 ìu I ' iv \R + r i ~òv > 

 Dalla (13*) derivando, otteniamo per le (A) e per le (II): 



~òu v . 'w In) v 1 'w 



e la precedente diventa 



~ÒV \ tv ! ~òu\ wj 



Eseguendo le derivazioni colle (A), questa si riduce subito alla (A*) e 

 trovasi quindi verificata. 



In modo simile si potrebbe riscontrare, colle precedenti, che R = my-i 

 soddisfa anche la (II) n. 2; ma questo segue anche da che sulle due falde 

 2 , 2' dell'inviluppo di sfere si corrispondono le linee di curvatura, e per 

 ciò (Nota B) sulla superficie S luogo dei centri il corrispondente sistema 

 (u , v) è coniugato. 



Dopo queste verifiche risulta dal n. 2 che la superficie S ammette 

 una deformata per flessione S , tale che in S„ i termini dei segmenti 

 vengono ad avere per luogo un piano n , sicché quando S rotola sopra S il 

 piano n inviluppa la superficie 2. Cosi, in effetto, ad ogni trasformazione 

 E m della superficie 2 corrisponde una generazione di questa superficie come 

 inviluppo di rotolamento; la superficie S d'appoggio è la superficie luogo 

 dei centri delle sfere e la rotolante S„ si ha con quadrature 



7. Fra le superficie 2 a rappresentazione isoterma delle linee di curva- 

 tura vi sono le superficie coi due sistemi di linee di curvatura piane, le 

 cui immagini sferiche delle linee di curvatura sono due fasci ortogonali di 

 circoli. Però noi qui considereremo solo il caso generale quando le due rette, 

 coniugate rispetto alla sfera, che sono gli assi dei due fasci di piani dei 



