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circoli non sono tangenti alla sfera e non passano per il centro. In questo 

 caso Eisenhart ha dimostrato (n. 8, m. c.) che, se si prende = - la costante 



Ci 



della trasformazione E m , questa può applicarsi in guisa che anche la tras- 

 formata 2' abbia linee di curvatura piane, ed allora la superficie S luogo 

 dei centri delle sfere è una superficie di traslazione con curve generatrici 

 in piani perpendicolari, e queste curve danno il sistema coniugato corrispon- 

 dente alle linee di curvatura di 2. 



È d'altra parte noto (cfr. Lesioni, voi. II, § 252) che queste superficie 

 di traslazione ammettono una deformazione continua ad un parametro che 

 conserva coniugato il detto sistema, le curve generatrici mantenendosi in 

 piani perpendicolari; quindi se ne conclude che la superficie rotolante S è 

 appunto una di queste deformate. 



Ma noi vogliamo ora invertire queste considerazioni e dimostrare il 

 teorema : 



Sopra una superficie S di traslazione, con curve generatrici in piani 

 perpendicolari, si faccia rotolare una superficie applicabile S„ della me- 

 desima classe, che trasporti seco, come piano satellite, un piano n orto- 

 gonale ad ambedue i sistemi di piani delle curve di traslazione di S„ . 

 Questo piano n inviluppa una superficie 2 coi due sistemi di linee di 

 curvatura piane. 



In questo modo si ottiene, come inviluppo di rotolamento, qualunque 

 superficie a linee di curvatura piane della classe generale sopra indicata. 



8. Alla dimostrazione del teorema enunciato premettiamo la deduzione 

 di alcune forinole più generali, che tornano utili in altre ricerche. Conside- 

 riamo una superficie S , pel momento arbitraria, ed i segmenti rettilinei 

 calati dai punti di S normalmente sopra un piano fisso n s che prendiamo 

 per piano xy\ e questi segmenti si pensino invariabilmente collegati alla S 

 nelle sue flessioni. Se la S assume, deformandosi, la configurazione S , il 

 luogo dei termini dei detti segmenti diventerà una superficie 2, ortogonale 

 ai segmenti stessi, e noi vogliamo calcolare gli elementi relativi alla con- 

 gruenza delle normali di 2. 



Come nella mia prima Memoria sul rotolamento ('), scriviamo le equa- 

 zioni parametriche di S„ sotto la forma ordinaria 



x = u , y = v , s = s {u , v) , 

 e facciamo uso delle notazioni di Monge 



^ ~ÒSq ^ !)Zo ^ ~ò 2 S ^ ~ò 2 S ~t> 2 Z 



^ — T>u ' <J ~ ~òv ' r — "òu % ' S ~ ~òu ~òu ' ~~ 7)^ 



(') Alcune ricerche sul rotolamento di superficie applicabili (Rendiconti del Circolo 

 matematico di Palermo, tomo XXXVIII, an. 1914). 



