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Calcolando di qui, secondo le (14), i coseni a , fi , y , ove si ponga per 

 brevità : 



|/1 + (1_ W * (M ) = U , j/l + (l-^V^(») = V, 

 troviamo : 



(18) y' (rt )( P _ A V) = y»( V -&) 



V*(«) + ! ^ + uv 



' = \ + 9 '*{u) + 9 '*{v) • 

 Da queste formole seguono le altre 



i U« + 9)'(«)(/^— 1) = 

 U / ? + ^- ) (y-A) = 



le quali dimostrano che le linee sferiche u = cost sono circoli i cui piani 

 passano per la retta 



x = , g = 7 , 



«: 



e le u = cost circoli nei piani per la retta 



queste due rette sono polari reciproche rispetto alla sfera (non tangenti). 



Quanto alle coordinate £ , t; , £ di un punto della superficie - a linee 

 di curvatura piane u , v considerata come inviluppo di rotolamento, sono date 

 dalle formole 



/ £ = Jt 1 +(1 — £ 2 )$p' 2 (w) rf« — [y («) + ^ (»)] « 



(19) '/ =■[]/ l+(\-~)<f>*(o)dv- O (u) + </> (»)] fi 



[ t = ^(») + ^ - [>(») + y • 



avendo a , /? , y i valori (18). 



Il teorema enunciato alla fine del n 7 è così dimostrato. Osserviamo 

 da ultimo il caso particolare notevole che la superficie S di traslazione sia 

 il paraboloide rotondo, col piano direttore come piano satellite : Se il pa- 

 raboloide rotondo rotola sopra ma delle sue oo 1 superficie di traslazione 

 applicabili, il piano direttore inviluppa la più generale superficie minima 

 a linee di curvatura piane (esclusa la superficie minima d' Enneper ed il 

 catanoide). 



