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Matematica. — Sugli integrali abeliani riducibili. Nota I di 

 Gaetano Scorza, presentata dal Corrisp. G. Oastelnuovo. 



Due (*) sono i teoremi classici sugli integrali abeliani (') riducibili a cui 

 han condotto e nei quali si raccolgono ricerche ben note di Weierstrass, 

 Picard e Poincaré. L'uno (che dal nome di chi gli dette la più ampia por- 

 tata diremo teorema di Poincaré) afferma che se una varietà algebrica di 

 irregolarità superficiale p ammette un sistema di q integrali (semplici, di 

 l a specie) riducibili con 2 q periodi ridotti, ammette anche un sistema di 

 p — q integrali riducibili con 2 (p — q) periodi ridotti, i due sistemi costi- 

 tuendo insieme un sistema di integrali linearmente indipendenti : l'altro 

 stabilisce che se una varietà algebrica ammette \i integrali ellittici linear- 

 mente dipendenti (fi > 3) ne ammette senz'altro un'infinità discontinua. 



Di questo secondo teorema il Severi ha dato recentemente ( 2 ) una ele- 

 gante dimostrazione geometrica e un'ampia generalizzazione, facendo ricorso 

 al primo, a un risultato di Castelnuovo e a due sue notevoli osservazioni 

 sul sistema congiungente e sul sistema intersezione di due sistemi regolari 

 di integrali riducibili appartenenti a una stessa varietà algebrica; quanto 

 al primo è ormai classica la bella dimostrazione geometrica che ne dette il 

 Castelnuovo nelle sue ricerche sugli integrali semplici delle superficie alge- 

 briche irregolari ( 3 ). 



Nel considerare le conseguenze a cui conduce il teorema di Poincaré 

 per le funzioni abeliane a un numero qualunque di variabili semplicemente 

 singolari, ho visto che, per far perdere ad esse un certo apparente aspetto 

 di poca plausibilità, occorreva stabilire un legame fra quel teorema e le 

 relazioni bilineari a coefficienti interi che legano i periodi di due integrali 

 semplici di l a specie appartenenti a una stessa varietà algebrica qualsiasi. 



(*) Avevo già spedito (16 febbraio u. s.) il manoscritto di questo lavoro al prof. Ca- 

 stelnuovo per la presentazione all'Accademia, quando ho saputo che il prof. Rosati stava 

 preparando una Nota sullo stesso argomento, procedendo in un modo che presenta qualche 

 punto di contatto col mio. La sua Nota esce contemporaneamente a questa negli Atti 

 della R. Accademia delle Scienze di Torino 



(') Qui adoperiamo la frase integrali abeliani in un senso un po' più generale del- 

 l'ordinario, come risulta chiaramente dal contesto del discorso. 



C 2 ) Severi, Sugli integrali abeliani riducibili (Rendiconti della R. Accademia dei 

 Lincei (5), voi. XXIII, 1914, 1° sem. pp. 581 e 641). 



( 3 ) Castelnuovo, Sugli integrali semplici appartenenti ad una superficie irregolare 

 (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (5), voi. XIV, 1905, pp. 545, 593, 655), 

 pag. 596. , 



