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Utilizzando l'idea che mi ha condotto già. per via rapida e spontanea, 

 al teorema di Humbert sulle funzioni iperellittiche singolari (') e che, come 

 mostrerò altrove, porta anche alla sua completa generalizzazione, mi sono 

 imbattuto così in uu procedimento che non solo fornisce con tutta chiarezza 

 l'espressione di quel legame quanto mai intimo e semplice, ma ritrova il 

 teorema di Poincaré e le due osservazioni del Severi per una via agevole e 

 piana: anzi, essa potrebbe dirsi al tutto elementare se in un punto (che, 

 per altro, è essenziale) non fosse necessario far ricorso al teorema di esi- 

 stenza delle funzioni abeliane nella forma -che gli detti due anni fa ( 5 ). 



Partendo da un determinato sistema primitivo di cicli lineari sulla 

 riemanniana della assegnata varietà algebrica di irregolarità superficiale p , 

 rappresento omograficamente il sistema lineare dei suoi integrali semplici 

 di l a specie sui punti di un S p _, imaginario immerso in un S 2?) _i reale; 

 cerco di caratterizzare gli spazi rispondenti ai sistemi regolari di integrali 

 riducibili appartenenti alla varietà, e trovo che essi sono gli S 9 _, (o<^<Q>) 

 dell' S p _] per cui passano (eventualmente) degli S 29 _, razionali dello spazio 

 ambiente. 



Da questo punto di vista, le relazioni bilineari fra i periodi degli in- 

 tegrali si traducono subito in sistemi nulli razionali che hanno uno spazio 

 unito (o totale) in queir S p _i e nello spazio imaginario coniugato ; e 

 poiché di quelle relazioni, qualunque sia la varietà considerata ne esiste 

 sempre almeno una, restano collegati al prescelto sistema primitivo di cicli 

 lineari uno o infiniti sistemi nulli razionali, costituenti in ogni caso una 

 totalità assimilabile a quella dei punti razionali di un conveniente spazio 

 lineare (di dimensione <./; 2 — 1). 



Tra questi sistemi nulli chiamo 'principali quelli che provengono dalle 

 relazioni bilineari soddisfacenti alla nota diseguaglianza di Riemann e di- 

 mostro, come di dovere, che questa nozione (com' è facile prevedere a priori) 

 ha carattere invariante rispetto al cangiamento del sistema primitivo di cicli 

 lineari. 



Ciò posto, si vede subito che se tra quei sistemi nulli ve n' è uno sin- 

 golare di specie 2q, il suo Sg ? _, singolare dà luogo per la varietà all'esi- 

 stenza di un sistema regolare di q integrali riducibili con 2q periodi 

 ridotti. 



L'utilizzazione di questo fatto, che poi risulta invertibile, e della cor- 

 rispondenza stabilita da un sistema nullo fra gli S 2g _i e gii S 2(P _ 9) _i dello 

 spazio ambiente, conduce allora, cou qualche altra osservazione nuova, al 

 teorema di Poincaré e fornisce il legame richiesto fra la presenza di sistemi 



( 4 ) Scorza, Sulle funzioni iperellittiche singolari (Rendiconti della E. Accademia 

 dei Lincei (5), voi. XXIII, 1914, 2° seni., pag. 560). 



( 6 J Scorza, Sul teorema di esistenza delle funzioni abeliane (Rendiconti del Circolo 

 Matematico di Palermo, toni. XXXVI, 1913, 2° semestre). 



