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Ogni sistema lineare A , di dimensione q — 1 . di integrali semplici 

 di l a specie di Y p si riflette in uno spazio lineare « di i, avente la stessa 

 dimensione. 



Diremo che a è Y imagi ne di A, e lo spazio « di t, imaginario co- 

 niugato di a, si dirà Y imagine coniugata di A. 



2. Si osservi che lo spazio % fornisce coi suoi punti una rappresenta- 

 zione omografica del sistema lineare oo? -1 degli integrali semplici di l a specie 

 di V p , appena si faccia corrispondere a uno di questi integrali (determinato, 

 naturalmente, a meno di una costante moltiplicativa e di una costante 

 additiva) il punto di r che ha per coordinate i suoi 2p periodi relativi al 

 fissato sistema primitivo di cicli lineari di Y p . 



La posizione di r (e quindi di t) in 2 dipende dunque non dalla scelta 

 degli integrali UnUi — Up, ma da quella del sistema primitivo di cicli 

 lineari sulla riemanniana di Y p . E, per fatti ben noti, il mutamento di 

 quest'ultima scelta porta soltanto a cambiare t e % con due spazi di 2 che 

 possano dedursi da essi con una omografia rappresentata da una sostituzione 

 lineare a coefficienti interi di modulo z±z 1 ; cioè, come diremo, con una 

 omografìa unimodulare razionale. 



3. Per quanto si tratti di cose semplici e note, rammentiamo, per la 

 chiarezza dell'esposizione, che un S ft di 2 si dice razionale se coincide 

 con 2 o, altrimenti, se i mutui rapporti delle sue coordinate, definite nel 

 solito modo della geometria proiettiva iperspaziale, sono numeri razionali ; 

 di guisa che, in questo secondo caso, le sue coordinate si possono sempre 

 supporre a dirittura intere. 



Un S fe che contenga k -j- 1 punti indipendenti razionali, o che appar- 

 tenga a 2p — 1 — k iperpiani razionali indipendenti è un S ft razionale ; vi- 

 ceversa, un S ft razionale contiene sempre un tal gruppo di punti razionali 

 (se k^>0 ne contiene, anzi, infiniti) e sta sempre in un tal gruppo di 

 iperpiani razionali (anzi in infiniti, se k <C%p — 2). 



Evidentemente lo spazio congiungente e lo spazio intersezione di due 

 spazi razionali di 2 sono anch'essi degli spazi razionali ( 9 ). 



Un sistema nullo dello spazio 2, rappresentato da un'equazione del tipo 



1...2P 



(dove le a; e le y sono le coordinate di due punti qualunque di 2 coniu- 

 gati rispetto al sistema nullo, e le a r , s sono gli elementi di un determi- 

 nante emisimmetrico d' ordine 2p), si dirà razionale se i mutui rapporti 



( 9 ) Cfr. Rosati, Sulle corrispondenze algebriche fra i punti di una curva algebrica 

 (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (5), voi. XXII, 1913, 2° seni., pag. 431), n. 7. 



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