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delle a r , s sono numeri razionali, cioè se le a r , s si possono supporre numeri 

 interi. 



Lo spazio polare di un S h razionale rispetto a un sistema nullo razio- 

 nale è, evidentemente, razionale; e un sistema nullo razionale di 2, che sia 

 singolare di specie h (dove h è necessariamente pari, una volta che 2 ha 

 dimensione dispari) ( 10 ), avrà, naturalmente, per spazio singolare (o centro, 



asse) un Sn-i razionale. 



Infine un sistema nullo di un razionale di 2 si dirà razionale se 

 si può concepire come indotto in S h da un sistema nullo razionale di 2. 



4. Se i punti di un di 2 sono a due a due coniugati rispetto a un 

 determinato sistema nullo di 2, cioè, se il complesso lineare, che il sistema 

 nullo definisce, contiene tutte le rette di S ft , diremo col Kantor ( n ), che il 

 sistema nullo o il relativo complesso lineare ha in Ss uno spazio totale. 



Ricordiamo, a questo proposito, che se un sistema nullo (o complesso 

 lineare) di 2 ha per centro o asse un S. 2Z _, , i suoi spazi totali sono tutti 

 e soli quelli contenuti negli spazi totali di dimensione massima. Questi 

 ultimi sono della dimensione p -f- 1 — 1 e ognuno di essi passa per il 

 centro del sistema nullo (o complesso lineare) considerato ( 12 ). 



5. Ciò premesso, dimostriamo che : 



Se la varietà Y p ammette un sistema A, co? -1 , di integrali riduci- 

 bili con 2q periodi ridotti, Y S 2g _! congiungente le imagini a e a di A. 

 è uno spazio razionale. 



E infatti se, per fissar le idee, q integrali indipendenti del sistema A 

 sono appunto gli integrali u x ,u 9 , ... u q , indicando con ft (k = 1 , 2 ... 2q) 



1 periodi ridotti dell'integrale Uj (j = 1 , 2 ... q), esistono, per definizione, 

 dei numeri interi h t , R (1 = 1 ; 2 ... 2p ; k = 1 , 2 ... 2q) per cui si ha: 



(2) u Jt i = X V* Sìj, h (j = 1 , 2 , ... q ; l = 1 , 2 , ... 2p) . 



7£=1 



Ma allora sarà pure, indicando con Sìj, h la quantità complessa coniu- 

 gata di iìj , n , 



(3) £V*5 if » (>=1,2,... y ; 1=1, 2, ...2p). 



( ,0 ) Vedi per es. Bertini, Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi 

 (Pisa, Spoerri, 1902), pag. 105. 



(") Kaaitor, Theorie der linear e.n Strahlencomplexe ini Raume von r Dimensionen 

 (Crelle's Journal, voi. 118, ari. 1897). 



Palatini, Sui complessi lineari di rette negli iperspazi (Giornale di Matema- 

 tiche di Battaglini, voi. XLI, 1903), n. 2. 



