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Or si considerino in 2 i 2q punti razionali aventi per coordinate gli 

 elementi delle singole righe della matrice 



(4) 



^J,l • ^2,1 » • • • ^2p,l 

 ^1,2 i ^2,2 ? • • ■ hip, 2 



hi,2q i ^2,2g ) • • ■ h<ip t 2q 



in virtù delle (2) e (3) lo spazio che li congiunge contiene i punti co,,»», 

 ... co q , <w, , » 2 ^ ••• »g > quindi esso coincide con 1' S 2g _i congiungente gli spazi 

 a ed a, e questo è, come volevasi. uno spazio razionale. 



Osservazione. — Il ragionamento fatto esclude evidentemente che la 

 caratteristica della matrice (4) possa essere inferiore a 2q e quindi esclude, 

 in particolare, che gli elementi di una sua riga possano essere tutti nulli. 



Ciò dimostra, incidentalmente, il teorema ben noto che un sistema li- 

 neare completo di integrali riducibili non può avere dimensione superiore 

 alla metà del numero dei periodi ridotti, diminuito di 2 ( 13 ). 



Col Severi ( u ), un sistema come il sistema A del teorema precedente 

 si dirà un sistema regolare di integrali riducibili. 



o*. Il ragionamento del numero precedente è senz'altro invertibile, e 

 quindi : 



Se esiste in 2 un S 89 _i razionale (q<Cp) appoggiato a x secondo un 

 S ? _i a {e quindi anche a % secondo /'S ? _i a immaginario coniugato di a), 

 a è V imagine di un sistema regolare oo* _1 di integrali riducibili diY p . 



Per brevità di discorso, 1' S ìq _i razionale che in virtù delle osserva- 

 zioni fatte vien collegato biunivocamente a un sistema regolare A di inte- 

 grali riducibili di Y p si dirà l'asse di A e si indicherà con Ai . 



7. Se L ed M sono, rispettivamente, il sistema lineare intersezione e 

 il sistema lineare congiangente di due sistemi regolari A e B di integrali 

 riducibili di V p , le imagini X e fi di L ed M sono, rispettivamente, lo 

 spazio intersezione e lo spazio congiungente delle imagini a e /S di A e B ; 

 inoltre, attesa l'indipendenza di r e t, è chiaro che lo spazio intersezione 

 e lo spazio congiungente degli assi A[ e B, di A e B sono, rispettivamente, 

 gli spazi congiungenti X e fi con i loro spazi imaginari coniugati l e . 



Ma poiché A e B son razionali, tali son pure lo spazio secondo cui si 

 intersecano e quello a cui appartengono, dunque : 



( 13 ) Castelnuovo Enriques, Sur les intégrales simples de première espèce d'une sur- 

 face ou d'une variété algébrique à plusieurs dime>isions (Annales scientifiques de l'Ecole 

 normale superieure, tom. XXII, 1906, pag. 339). n. 1; Severi, Lezioni di Geometria al- 

 gebrica (Padova, Draghi, 1908), pag. 338. 



(") Severi, loc. cit. 2 \ pag. 582. 



