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operatori ( 3 ) ( 7 ) per le grandezze. Questo carattere dei Q , che è stato pre- 

 cisato con le moderne ricerche logico-matematiche, ha origine antichissima, 

 come lo provano, fra altro, il rapporto di Euclide e il concetto, più moderno, 

 di misura, al quale vien collegata la frase erronea numero concreto e la 

 frase inutile numero astratto. Di più: nelle applicazioni ideila matematica, 

 i numeri compariscono non perchè numeri, ma perchè misure di grandezze 

 sulle quali effettivamente si deve operare. Ora: definiti gli N ,R ,Qo, m 

 modo anche logicamente perfetto, come enti a sè, non è fatto tutto ; occorre 

 collegarli con le grandezze. Ed ecco, secondo me, il capitale difetto logico 

 e pratico dei metodi ordinari; dover collegare i Q alle grandezze, mentre 

 i Q hanno ragione di esistere solo perchè, dati dalle grandezze, servono 

 a rappresentare queste in modo univoco e reciproco. 



Ho tentato altre volte {*) ( 5 ) di ottenere i Q dalle grandezze, senza 

 però riuscire, sia ad evitare alcune complicazioni di forma, sia a far pre- 

 cedere la definizione dei Q (classe generale dei numeri) a quella delle 

 classi (parziali) N , R - Credo di esser riuscito ora ad evitare ogni com- 

 plicazione di forma e dedurre direttamente, in modo elementare (*), la classe 

 totale Q dalle grandezze, mantenendo ai numeri la forma e la sostanza 

 loro proprie da secoli. 



1. In tutto ciò che segue mi riferisco al contenuto dei nn. 1 e 2 (*) 

 della mia Nota ( 5 ). 



Interessa far notare che, essendo f una operazione per gli u, la frase 

 « u è una classe di grandezze omogenee rispetto all'operazione f per gli u » 

 significa che « pei- u ed f valgono le proprietà 1-VIII del n. 2 della nota ( 5 ) »; 

 e niente altro che questo. Ne segue che le I-V1II non sono postulati pel- 

 le grandezze [cfr. ( r ')] e che Y omogeneità è carattere cumulativo di u e di / 

 e non di u o di / soltanto (**). 



(*) Immediatamente applicabile all' insegnamento. Il prof. S. Catania, al quale ho 

 comunicato i resultati ottenuti, sta appunto preparando una esposizione sistematica della 

 teoria delle grandezze e dei numeri, che, credo, potrà sostituire le altre trattazioni più 

 complesse. 



(*) Nella 1-3 di ( 6 j si ponga ae\ju - Nul (w , f)~\ fx , altrimenti non si può fare a 

 meno della proprietà commutativa di f. Inoltre, come mi ha fatto osservare il prof. Ca- 

 tania, alle I-VIII del n. 2 occorre aggiungere la VII' seguente 



x,y eu - Nul (w ,f)-yeO(u, f) x ■ Ox . y 1 * e (u ,f) (ce fy) 



che è pure indipendente dalle altre I-VIII e che permette di affermare, senza far uso 

 della proprietà commutativa di /', che per gli u vale il principio di Archimede. 



(**) La prima osservazione basta per risparmiare qualsiasi vuota discussione sulla 

 esistenza delle classi di grandezze; la seconda prova che le frasi comuni u so è una classe 

 di grandezze omogenee», ua,b sono grandezze omogenee», sono, per il significato da 

 noi dato a Grand /', del tutto prive di significato, poiché non contengono l'operazione 

 rispetto alla quale esiste l'omogeneità. 



