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In ciò che segue — e non ripeteremo tale ipotesi — supponiamo 

 che u sia una classe di grandezze omogenea rispetto ad una operazione 

 (somma) che. per seguire l'uso comune, indicheremo col segno -f~. Inoltre 

 intenderemo introdotti, mediante il 6 di ( r '), i segni < e 1' (limite supe- 

 riore) (***) e sottintenderemo gli indici u, -\- ai simboli 0, Nul, ecc., per 

 semplificare la scrittura, salvo a porli esplicitamente quando la notazione 

 abbreviata possa dar luogo ad equivoci. L'unico elemento di u, che è nullo 

 rispetto all'operazione -f- ( 6 ), lo indicheremo con (zero). 



2. Tra gli operatori per gli u giova considerare subito quello nullo, 

 che indicheremo con (zero, come l'elemento di u che è nullo rispetto a -(-) 

 e l'identità, che indicheremo con 1 (uno); 



[1] = 1 \jlUl n a 9 \x £ U • Da- ■ C( 30 = Oj] 



[2] 1 = / [u f u n a i \x SU' Dg; • a x = a?}], 



e per semplicità non porremo l'indice u e -f- a ed 1, come regolarmente 

 dovrebbe farsi, perchè (n. 1) u e -f-, essendo fissi, possono essere sottintesi. 



Esiste almeno un operatore a, per gli u, tale che ax = 0, ovvero 

 ax = x, perchè è stabilito, con legge finita, quale è Tu che corrisponde 

 ad un x di u fissato ad arbitrio. Tale operatore è anche unico ( 3 ), perchè, 

 se per § sono verificate le medesime condizioni, si ha indubbiamente ux = $x. 

 cioè a — {ì, essendo x arbitrario. Segue dunque che: 



[3] 0,lsufu(*) 



3. Con le notazioni complete 



Q„( M , +) , N («, +) , R («, +) 



indicheremo, rispettivamente, le classi dei numeri reali, interi, razionali, 

 che definiremo come classi di operatori per gli u rispetto all'opera- 

 zione -{-. Ma per semplificare (nn. 1, 2) la scrittura, nelle proposizioni [4]-[17] 

 sottintenderemo gli indici u, -f-, scrivendo semplicemente Q , N , R . In 

 seguito (n. 8) le notazioni Q , N , R , prive realmente degli indici u, -f-. 

 indicheranno delle classi assolute. 

 Definiamo la classe Q , ponendo 



[4] Q 9 = > [Cls'(ufu)nw3 \ 



A. a , b eu ■ a- —0 ■ Q a , b ■ > \wna9 (a a = b)\ sw .'. 

 fì . ocew • a,b su • o<x,a,b • a {o> -f- b) = a a -f- ab .'. 



C. ccs w : g u - 10 n x s (ax = se) : a s u - tO • o* , a • « a = a .'. 



D. a,IS,ysw: &u- i0n%3 (yx = ax-\-^x) : a e u - i0 • Q«, /?, 7, a • 



y a = aa-\- (i a\~\ (*). 



(***) x < y • — • x, e y ; v e C 1 s ' u • Q • l 1 v = 1 [u n x e (6 x = 6 v)~\ . 



(*) Si osservi che, mentre dipende da u e da -j-, perchè dipende dall'elemento 

 di u che è nullo rispetto a -\- , l'operatore 1 dipende soltanto d;i u . 



(*) A causa della B, non è facile [cfr. C), ed. V, pag. 118] dimostrare la indipen- 

 denza assoluta delle A-D. Una eventuale dipendenza delle A-D non influisce sul proce- 

 dimento usato in questa Nota per dedurre i Q dalle grandezze. 



