Vale a dire : Q è quella classe di operatori per gli u che, rispetto 

 alla operazione -J-, soddisfa alle condizioni A-l). La A esprime che esiste 

 un Q , ed uno solo, che trasforma un elemento a non nullo di u in un 

 elemento b di a; la B dice che ogni Q è operatore distributivo rispetto 

 alla somma; le C, D esprimono che le condizioni ax == x, yx = ax -\- (ìx, 

 verificate per un x di u non nullo, sono vere per qualsiasi altro u non 

 nullo. E queste sono proprietà elementari e ben note dei Q . 



Nelle proposizioni [5]-[16] intendiamo ammesso che Q sia una classe 

 univocamente determinata dalle condizioni A-D della [4]. In seguito, n. 7, 

 dimostreremo che ciò avviene realmente. 



Intanto si ha: 

 [5] 0,1«Q (**). 



4. La somma per i Q sarà indicata, come d'uso, col segno -{-> senza 

 che vi sia pericolo di equivoco. Porremo : 



[6] a , |S s Q • o • a -f- /? = ? [Q n y « \x s u ■ Qx ■ y x = a x -f- #{] '< 

 e risulta subito: 



cioè, -j~ ^ una operazione per i Q . 



È facilissimo dimostrare che per i Q definiti dalla [4], e l'opera- 

 zione -)- definita dalla [6], valgono le proprietà I-VI1I del n. 1, e quindi che 



cioè i Q formano una classe di grandezze omogenea rispetto all'opera- 

 zione -f- definita dalla [6](*). 



Dunque tutte le proprietà degli u che si possono dedurre dalla I-VIII 

 valgono, e non vi è bisogno di altra dimostrazione, per i Q . Notevole 

 economia di tempo. 



5. L'intimo legame tra le classi u, Q è posto in piena luce dalle due 

 proposizioni seguenti, ben note e importantissime: 



[9] asti - tO ■ • u == Q a , 



(**) Da B segue «0 = 0. Se per x - = si ha ax = 0, allora « x — ax -\- ax 

 e, per la D , a a = a a -f- a a , da cui «« = 0. Ma da B risulta che esiste « tale che 

 ax=0: dunque ecc. 



(*) Per la dimostrazione della [_8~] giovano le proprietà seguenti: 



(a) . « s Q ■ a e u ■ q .'. « a = : = : a = • u • a = ; 



(b) . a , b s u • a s Q - tO ■ q : a >" b • = ■ ab -, 



(c) . «eQ n -O-0-j-a=a; 



(d) . « , (9e Q * a su - iO • q : a a >■ jìa • = • «e(Q - tO) + /9 . 



La (c) prova che l'operatore nullo, , è pure Velemento di Q che è nullo rispetto 

 alla operazione -j- definita dalla [_6T\. 



[7] 



[8] 



Q e Grand -}-, 



