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(u è, rispetto all'operazione + , sistema lineare ad una dimensione) ; 



L a«Q - tO • • au = u, oppure 

 L ( Q - *0 o (ulu) rcp 



(0*7/22 Qo Wfl/z #m#o è operatore univoco e reciproco per gli u). 



Per la dimostrazione della [10], e anche per le cose seguenti, giova 

 ricordare che, essendo i Q operatori per gli u, il prodotto funzionale ( 7 ) 

 di un Qo per un altro è un Q uuivocamente determinato, che tale pro- 

 dotto (*) è associativo, e che 0a = «0 = , 1 « = a 1 = a. Se a è 

 un Q non nullo, dalla condizione aa = a segue a = 1, perchè da a (ax) = 

 ax segue a =1. Da @a = l segue a (3 a = a, poi a fi a fi = a/i e quindi 

 anche a@ = l. Ora, da A e dalla [8] risulta che esiste un solo ele- 

 mento jS di Qo tale che /S« = l, o anche a/? = l ; inoltre Inequazione ux = a 

 ha per soluzione, unica, x — fia, e quindi fi è precisamente l'operatore 

 inverso di a (e la [10] è così dimostrata) che indicheremo, come d'uso, 

 con a~ l senza che, per ora, si dia ad 1 il significato stabilito dalla [2] (**). 



6. Definiamo ora la classe N seguendo Peano (') o Pieri ( 2 ), non più 

 mediante postulati, ma bensì con definizione nominale che dà la legge di 

 formazione degli N mediante d 1 nella classe Q . 



[11] N = * [C 1 s ' Qo n v s \0sv : 1 ■j-vQV'.wsGìs'-v-Osw- 



1 + w o w • Ow • «J = y{ 1] [Peano (')]. 



[IT] N = ? [C ls'Q n y sjO«y:l + y o v : w> * C ls l v ■ Q« a w - (1 + 



[Pieri (•)]. 



Nella [11] la condizione 0«N : 1 + N Q N dice che i Q , formati 

 con ed 1 soltanto, 



(a) 0,1+0,1 + 1+0,1 + 1 + 1 + 0,...-..., 



appartengono tutti alla classe N ; inoltre la condizione 



WS Cls 4 N ■0£W'l-\-W^W-O w -W—^o 

 dice che con la legge (a) si ottengono tutti e soli gli N . 



(*) Se a.ji sono Q , operatori a sinistra per gli u, indico brevemente con § a il 

 prodotto funzionale di a per § . Però tale notazione abbreviata non è regolare e può 

 condurre ad assurdi [cfr. ( 7 ), n. 13J ; mentre è regolarissima (ibid., n. 12) la notazione net, 

 ove a è un u. Per il segno esplicito di prodotto funzionale dei Q si dovrà far uso 

 del segno X poiché (n. 9) il prodotto funzionale dei Q è niente altro che il loro pro- 

 dotto aritmetico. 



(**) Per il rapporto di Euclide si ha 



a, bew a- = • Q • b/a=i |Q n «e [a a = è]j 



e da A risulta che è/aeQ . In virtù della [8], la proposizione precedente definisce anche 

 il rapporto tra un Q e un altro non nullo, e si ha /3/a = l/« = «- 1 . 



Il procedimento seguito in questa Nota per dedurre i Q dalle grandezze è dunque, 

 in sostanza, il metodo dei rapporti di Euclide, reso più agile dalla mancanza degli N 

 e dalla presenza degli operatori; inoltre è precisato logicamente. 



