Lo stesso dice la [11'] quando, come ha fatto Pieri, si deduca dalla 

 [11'] il principio d' induzione che è esplicitamente contenuto nella [11] e 

 dà, anzi, la legge finita (*) di formazione degli N . 



Segue subito che : 

 [12] No«Cls'Q . 



Definiamo la classe R ? ponendo (n. 5) 



[13] R = (N - .0)- N ; 



e dalla [12] e dal n. 5 si ha subito 



[14] R *Cls' Q (*). 



Dimostrato il principio di Archimede [cfr. ( 4 ), 38 • 1], e dimostrato che 

 ogni Q è compreso tra due N consecutivi (non escluso l'estremo minore), 

 si ha : 



[15] « £ Q . .« = p jfi n(6«u ( «)| (**), 



dalla quale risulta 



[16] Q = l 1 JCls Lim R j , 



cioè che la classe Q è costruibile mediante classi limitate ed esistenti di K 

 e il limite superiore (***). 



7. Gli operatori , 1 per gli u sono univocamente determinati (n. 2), 

 anche indipendentemente dalle condizioni A-D. Una volta ammesso che le 

 A-D individuino una, ed una sola, classe Q , risulta, [11], che la classe 

 N è effettivamente costruibile mediante 0,1,+ con legge finita; 

 con legge parimente finita è costruibile, [13], la classe R , e, mediante 

 questa, [15], è effettivamente costruibile la classe Q , sempre me- 

 diante 0,1,-}-) la classe u e l'operazione -4- per gli u . 



(*) Le leggi [11], [11'] sono equivalenti perchè l'una è deduttibile dall'altra ( 2 ); 

 ma la [11'] è finita, e quindi è pure finita la [11]. 11 ragionamento per induzione è 

 dunque ragionamento finito, e il principio d'induzione caratterizza le classi finite, 

 contrariamente all'opinione di Poincaré accettata da alcuni anche in Italia. 



(*) L'operatore inverso dell'identità è pure l'identità: e quindi N oR senza bisogno 

 di nuove convenzioni, antilogiche sempre perchè conducono ad identificare enti essenzial- 

 mente distinti. 



(**) Come legame tra gli u e i Q si ha 



«cQo • • a Cls' R n va [xeu • Q x • ccx = 1* (vx)\ . 



(***) Allo stesso risultato si giunge, sebbene sotto forma più complessa e punto 

 chiara, anche quando ci si ostini a voler far uso delle pesanti e antiestetiche classi con- 

 tigue, in luogo del concetto semplice chiaro ed elegante di limite superiore. 



