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Dunque : mediante le condizioni A-D è possibile di costruire effet- 

 tiva mente, una, ed una sola, classe di operatori per gli u rispetto a -j-, 

 che soddisfa, [15], alle condizioni A-D. Ne segue che: la [4] definisce 

 una, ed una sola, classe Q rispetto ad u e -f- , cioè che 



[17] Q eCls«(« f u) . 



8. Torniamo a porre il segno generico f in luogo del segno speciale -f- 

 per gli u , riserbando questo, definito dalla [6] , per i Q . Alla notazione 

 abbreviata Q (n. 3) sostituiamo quella completa Q (u,f); e lo stesso fac- 

 ciamo per N ed E . Inoltre indichiamo con u' una classe di grandezze 

 omogenea rispetto all'operazione /', e con 0' l'elemento di u che è nullo 

 rispetto ad f . 



Se a è un N (m,/) e x è un u, risulta dalle cose precedenti, che 

 a a" è formato, nella classe u, mediante 0,x,f, come « è formato, nella 

 classe Q (u , f), mediante , 1 , -f- . Se x' è un u', la notazione a %' è attual- 

 mente priva di significato perchè a non è un Q (u',f). Noi converremo 

 di indicare con ax' quell'elemento di u che è formato, nella classe u, 

 mediante 0',x',f, come ax è formato, nella classe u, mediante 0,x,f, 

 cioè come a è formato, nella classe Q (u,f), mediante 0,1, -f- (*). 



E tale convenzione è lecita, perchè l'indicata formazione di a x nella 

 classe u dipende esclusivamenta dalle proprietà I-VIII di u ed /', proprietà 

 che non variano col variare di u ed f . 



In base a tale convenzione, e alla permanenza delle I-VIII, possiamo 

 indicare, come d'uso, con i simboli 0,1,2,3,..., assoluti, cioè indipen- 

 denti da u e da f, gli elementi della classe N (/< , /'). Allora 0,1,2,3,... 

 formano una classe assoluta, N , di operatori per u , /' arbitrari. Dalla [13] 

 risulta che, mediante la classe assoluta N , si ottiene la classe, pure asso- 

 luta E . Inoltre, se osserviamo che nella [15] la classe R n (6 a u i a) è 

 unica, allora dalla [16] risulta che K dà la classe assoluta Q di opera- 

 tori per u , f arbitrari ( *). 



9. Se a , /S sono N , si prova facilmente (') che a -\- fi — fi -\- a e che 

 /9a = a/3; da questo e da [13] .[16] risulta che per la somma e per il 



(*) Per un'altra forma mediante corrispondenza ordinata, cfr. la mia Nota ( 5 ) n. 4. 

 La forma del testo è più semplice. 



(*) Ottenuta così la classe assoluta Q , e se « è un suo elemento qualunque, allora, 

 purché si operi in una classe u,f, omogenea, a.v è un u determinato. Ma se insieme 

 con ss non son dati u ed f (n. 1), allora <tx è notazione priva di significato. Come pure 

 se u è omogeneo rispetto a duo operazioni distinte /',/', allora et x indica due elementi 

 distinti, uno in u,f, l'altro in u , f . 



La questione « se esiste un'operazione f per gli u soddisfacente alle I-VIIT, può 

 esisterne un'altra f diversa da f?« può avere interesse in sè, ma non ne ha per la 

 teoria generale delle grandezze e dei Q . A questo proposito ritengo dubbie le ultime 

 due proposizioni della mia Nota ( 5 ). 



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