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Come esempio prendiamo 

 (4') <p{x\a)= Cl{x, £\a)if)(£)dS + y(x); 



- 'o 



l'applicazione della (IV) ci fornisce : 



(iv) ^ = f v i i a) , t] i # r ^) ^ , 



ciò: ^/o <-^o " a 



e questa coincide con una forinola trovata direttamente dal prof. Volterra 

 nel n. 3 della Nota dianzi citata, dove la F | [g>(# [ a)~}\ , con F funzione 

 arbitraria e g>(x\a) data dalla (4'), è la soluzione di una certa equazione 

 alle derivate funzionali. 

 5. 11 sistema 



\ F(*) = F||>(!),afl| 

 (5) \ 



mediante il quale si fa dipendere F da tutti i valori di /"(£) fra e 1, 

 è affine a quello formato dalle (1). Noi supponiamo F|[9>]| priva di punti 

 eccezionali. Volendo la derivata di F rispetto ad f, osserveremo intanto che 

 si ha : 



*-!^'/" ; 



e se noi assumiamo Sf sempre nulla fra e 1 eccetto che in un intervallo 

 (jttr), la stessa cosa accadrà per dtp. 

 D'altra parte si ha : 



sostituendo colla forinola precedente ed eseguendo trasformazioni ben note, 

 si ottiene : 



«-£™\rM..,€\*-4 i (r$) + ... 

 Pt _ |(_ iy ~, [r\ùm ,-*,,]| . 



Col tendere di tutti i punti di (j«r) a £i , la differenza I 2_ ) s i annulla 



