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Infatti un bel teorema sulle equazioni differenziali lineari, enunciato dal 

 Malmsten, venne da lui dedotto [6], nel modo più naturale, da una proposi- 

 zione del Libri; questa e quello furono poi da lui estesi [7] alle analoghe 

 equazioni alle differenze finite. 



Circa nello stesso tempo [8] egli applicò alla divisione delle funzioni 

 ellittiche i risultati stabiliti da Abel nella sua fondamentale Memoria Sur 

 une classe particulière d'équations resolables aìgébriquement. Poco dopo scri- 

 veva due brevi Note di carattere elementare [9 IO] per rispondere a que- 

 stioni proposte nelle Nouvelles Annales de matliématiqnes ; notevoli entrambe 

 per la perfetta eleganza di calcolo, lo sono inoltre la prima perchè addita 

 una ricchissima sorgente di identità algebriche ( 1 ), l'altra (dimostrazione di 

 un teorema di Prouhet) per un inatteso intervento della serie ipergeome- 

 trica in una questione di planimetria elementare. 



Nella produzione matematica del Tardy si avverte a questo punto un'in- 

 terruzione durata all' incirca un sessennio e dovuta indubbiamente alle cure 

 dell'insegnamento, per lui allora gravosissime. Dal suo volontario silenzio 

 egli uscì in occasione della fondazione degli Annali di matematica, nel primo 

 volume dei quali egli fece finalmente conoscere [11] i frutti delle sue inve- 

 stigazioni intorno ai differenziali ad esponente fratto, alle quali egli diede 

 l'ultima mano, dopo di avere preso notizia dei più recenti lavori sull'argo- 

 mento. I suoi risultati non coincidono, nè nel punto di partenza, nè tampoco 

 nelle conclusioni, con quelli del Liouville ( 2 ); giacché, mentre questi applicò 

 l'espressione euleriana di un differenziale qualunque dell'espressione e moc ad 

 una funzione qualunque, previamente trasformata in una somma di esponen- 

 ziali, il Nostro mostrò che tale incomoda previa metamorfosi si può evitare 

 partendo dalla forinola 



0) Il Tardy insegna una formola che serve a trasformare in una somma il pro- 

 dotto d'un certo numero n di fattori. Ter n = 2 o 3, essa diviene: 



24 a, « a a s = (a, + a 2 + a»)' — (— a l +« 2 + « 3 V — (a t — a a + <7 3 ) 3 — (a, -f a» — a 3 ) 3 , 

 identità già note; per n = 4 essa dà invece quest'altra nuova: 



192 a, ff a ct 3 (Ti = (a, + fl 2 -f ff 3 -f atf — (— a, +« 2 + « 3 + <>iY 

 — («! — « 2 -f- a a -f- aiY 1 — (a, <z a — cf 8 + ".i) 4 — (a, + « 2 -f- a 3 — 

 + (a, + a 3 — <? 3 — a<y + («, — tu + a, — <n) 4 — (a, — a a — a 3 + ai) 4 . 



Auguriamo che tali relazioni prendano posto in ogni collezione d'identità. 



( 2 ) Sarebbe interessante di conoscere il parere del Liouville sopra questo nuovo indi- 

 rizzo impresso alla teoria a cui egli si era dedicato con tanto impegno; ma sin dal 1858 

 egli aveva abbandonate tali ricerche, per dedicarsi totalmente alle ricerche aritmetiche che 

 soltanto la morte potè interrompere. 



4 «, «j = (a, -4- ff 2 ]' ; — («! — tf 2 y 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 



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