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la quale, se r è intero positivo, si ottiene con successive integrazioni per 

 parti ; nel caso generale essa può adoperarsi per definire il primo membro, 

 dal momento che il secondo membro ha anche allora un significato ben deter- 

 minato. Non è il caso che io mi arresti ad esporre i corollari che il Tardy 

 ne trasse supponendo che la funzione tp (x) si identifichi con le più semplici 

 funzioni che s'incontrano nell'analisi {x m , logie, e moc ,...). Va invece rile- 

 vato che egli applicò le esposte considerazioni ad ottenere sotto forma nuova 

 e di notevole concisione le funzioni soddisfacenti alle prime equazioni inte- 

 grali del tipo Volterra che siano state incontrate ('), quelle cioè che ven- 

 nero notoriamente risolute da Abel e da Liouville ; ora, il fatto che i 

 differenziali ad esponente fratto siano stati vantaggiosamente usati nel trat- 

 tare specialissime equazioni integrali, porta a congetturare che fra quella 

 teoria ed il più moderno (ed anche più italiano!) ramo dell'analisi matema- 

 tica esistano legami profondi, meritevoli di esser posti in completa luce ( 2 ). 



Dieci anni dopo, il Tardy, per invito del principe Boncompagni, dava un 

 complemento importante [15] a questo suo lavoro, mostrando come la nota 

 formola di Leibniz 



che dà la derivata /t-esima del prodotto di due funzioni u , v d'una stessa 

 variabile, sussista anche per valori non interi e positivi dell'esponente u. 



Nel frattempo, altri argomenti di calcolo infinitesimale avevano attratto 

 la sua attenzione. Così, da una formola stabilita dall'Hoppe per calcolare la 

 derivata d'ordine qualunque di una funzione del tipo / [u (ce)], egli fu 

 indotto [12] a risolvere l'analoga questione per le funzioni della forma f\_U\ (x), 

 Ur.(z)~], e così spianò la via a chi intendesse trattarla per tutte le funzioni 

 della forma f[Ui(x), m. ? (#),..., u m (x)~\. 



Altro tema a cui dedicò assidui studi è il calcolo approssimato degli 

 integrali definiti, sul quale scrisse un dottissimo lavoro [14], che quasi nes- 

 suno conosce, nel quale, con procedimento uniforme, sono stabilite, discusse 

 e paragonate fra loro tutte le migliori formole note per la quadratura appros- 

 simata (quelle, cioè, che portano i nomi di Mac-Laurin, Poisson, Legendre, 

 Menabrea, Poncelet, Simpson, Parmentier, Weddle, Gauss, Turazza), e per 

 ciascuna espresse il resto sotto forma d'integrale definito: è questa forse la 

 Memoria del Tardy in cui più chiaramente rifulgono le invidiabili sue doti 



(') V. Volterra, Lécons sur les tquations intégrales et les équalions intégro-diffé- 

 rentielles (Paris, 1912, pp. 34 e segg.). 



( 3 ) A eli i intendesse riprendere gli studi sui differenziali ad indice qualunque va 

 raccomandato un frammento postumo di Riemann (Werke, Leipzig, 1876, pag. 331) che 

 (non sappiamo per qual ragione) venne escluso dalla traduzione francese delle Opere di 

 quel grande analista. 



