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coli di quelli d'Eulero. Ora egli scrive un'altra lunga lettera, da me non ancora letta, 

 in cui pare spieghi il metodo da lui tenuto ; 



Torino, 25 dicembre 1866. 



II 



Nell'autunno 1863 Eiemann si trovava, per ragioni di salute, in Italia; delle con- 

 versazioni da lui tenute col Betti, si ritrova una tarda eco in due lettere di questi, con- 

 cernenti la « connessione », le quali mi sembrano importanti per due ragioni, cioè, perchè 

 porgono un'illustrazione, per così dire, autorizzata delle idee del grande matematico te- 

 desco, e perchè evidentemente preludono alle fondamentali ricerche, su quell'argomento, del 

 Betti stesso. Donde i motivi alla presente pubblicazione : 



Firenze, 6 ottobre 1863. 



Mìo caro Placido, 



Ho nuovamente parlato con Eiemann della connessione degli spazii, e me ne sono 

 fatto una idea esatta. 



Uno spazio si dice semplicemente connesso quando ogDi superficie chiusa, contenuta 

 in esso, ne limita da sè sola completamente una parte, e ogni linea chiusa contenuta 

 contemporaneamente in esso limita completamente una superficie contenuta interamente 

 nello stesso, ossia può riguardassi da sè sola come il contorno completo di una superficie 

 contenuta interamente nello spazio stesso. 



Lo spazio racchiuso da un ellissoide è uno spazio semplicemente connesso. Lo 

 spazio racchiuso da due sfere concentriche non è semplicemente connesso, perchè una 

 terza sfera concentrica compresa fra le due, sebbene chiusa e contenuta nello spazio, non 

 limita da sè sola una parte dello spazio stesso. In questo spazio però una linea chiusa 

 qualunque può riguardarsi come l'intero contorno di una superficie, tutta contenuta nello 

 spazio stesso. Questo spazio può ridursi semplicemente connesso per mezzo di una sezione 

 lineare, cioè di una linea che va dalla superficie esterna a un punto della sfera interna. 

 Dovendo i punti di questa sezione riguardarsi allora come esterni allo spazio, le sfere 

 concentriche comprese fra le due non sono più comprese interamente nello spazio, perchè 

 attraversano la sezione, e quindi lo spazio, coll'aggiunta di una sezione lineare, è ridotto 

 semplicemente connesso. 



Lo spazio racchiuso in un anello pieno non è semplicemente connesso, perchè una 

 linea come l'asse non può riguardarsi come il contorno completo di una superficie con- 

 tenuta tutta intera nello spazio. Ogni superficie chiusa, però, contenuta interamente in 

 questo spazio, ne limita da sè sola completamente una parte. Questo spazio si riduce 

 semplicemente connesso mediante una sezione superficiale semplicemente connessa, che ta- 

 glia l'anello normalmente all'asse interno dell'anello stesso. 



Uno spazio racchiuso da un anello vuoto non è semplicemente connesso, perchè 

 una superficie chiusa, che racchiude l'asse interno ed è dentro la parte piana dell'anello, 

 non limita da sè sola una parte di spazio, e una linea parallela all'asse interno conte- 

 nuta nella parte piana dello spazio non può formare il contorno completo di una super- 

 ficie contenuta tutta quanta nello spazio stesso. Si riduce semplicemente connessa me- 

 diante una sezione lineare che va da un punto della superficie esterna ad uno della interna, 

 e mediante una sezione superficiale che unisca tra loro la superficie esterna, l'interna e 

 la sezione lineare, e che è semplicemente connessa. 



I tre spazii che ho considerati hanno differenti ordini di connessione, perchè l'ordine 

 di connessione dipende dal numero delle sezioni superficiali semplicemente connesse, e 



