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dal numero delle sezioni lineari mediante ls quali si riduce semplicemente connessa. 

 Questo numero rimane lo stesso, comunque si facciano queste sezioni. L'ordine di connes- 

 sione è quindi rappresentato da due numeri; denotiamolo con (m, n) quando sono m le 

 sezioni superficiali ed n le lineari che lo rendono semplicemente connesso. Sarà (0,1) l'or- 

 dine di connessione dello spazio racchiuso da due sfere, una interna all'altra. Sarà (1,0) 

 l'ordine di connessione di un anello pieno. Sarà (1,1) l'ordine di connessione d'un anello 

 vuoto. La generalizzazione per più dimensioni è facile; e l'importanza, per gli integrali 

 multipli, di tutta questa teorica, è evidente. La nozione delle sezioni è venuta in mente 

 a Riemann per una definizione che gliene ha dato Gauss in un colloquio familiare, par- 

 lando di altro soggetto. Nei suoi scritti si trova che egli dice che l'analisi di sito, cioè 

 questa considerazione delle quantità indipendentemente dalla loro misura, è «wichtig», e 

 negli ultimi anni della sua vita si è occupato molto di un problema di analisi di situa- 

 zione: cioè, dato un filo che si avvolge più volte e conoscendo, nei punti dove s'interseca, 

 la parte che rimane sopra e la parte che rimane sotto, determinare se potrà svolgersi 

 senza annodarlo; problema che non è riuscito a risolvere altro che in casi particolari. 



Firenze, 16 ottobre 1863. 



Mìo caro Placido, 



Riemann dimostra, con molta facilità che si può ridurre uno spazio qualunque ad 

 essere semplicemente connesso, mediante sezioni lineari e sezioni superficiali semplice- 

 mente connesse. 



Uno spazio connesso non muta l'ordine della sua connessione se si restringono o 

 distendono le superfìcie che lo limitano, facendone muovere i loro punti verso l'interno 

 dello spazio stesso sino a far perdere allo spazio una e più dimensioni, purché questo 

 ristringimento e questa diffusione avvenga, con continuità e senza rotture. Affinchè uno spazio 

 sia semplicemente connesso, è necessario che così si possa ridurre a un sol punto. Una 

 superficie che così può ridursi a un punto, è semplicemente connessa senza potersi ridurre 

 a un punto senza che si faccia in essa un punto di sezione ; per esempio una superficie 

 sferica, dove, se vuoi ridurla a nn punto, devi fare un buco che estendi continuamente 

 sinché la superficie si riduca a un punto. 



Per maggior chiarezza riprenderò gli esempii dell'altra volta. 



Una sfera cava, se tu restringi la superfìcie esterna e distendi l'interna sino a ren- 

 derle infinitamente vicine, perde una dimensione e si riduce ad una superficie sferica, la 

 quale, mediante un punto di sezione, può ridursi ad un sol punto. Questo punto di se- 

 zione, che ha una dimensione di meno di quella che aveva nello spazio, corrisponde ad 

 una sezione lineare. Dunque una sfera cava si riduce semplicemente connessa mediante 

 una sezione lineare; il suo ordine di connessione è (1,0). 



Un anello pieno, se tu ristringi continuamente la superficie esterna fino a che le 

 sue pareti interne siano infinitamente vicine, perde due dimensioni e si riduce a una 

 linea circolare, la quale con un sol punto di sezione si riduce a un sol punto. Questo 

 punto di sezione, che ha due dimensioni di meno che, nello spazio primitivo non corrisponde 

 ad una sezione superficiale che, potendo ridursi a un punto, è semplicemente connessa. 

 Dunque l'ordine di connessione di un anello pieno è (0,1). 



Un anello vuoto, se tu restringi la superficie esterna e distendi la interna fino a 

 ridurle infinitamente vicine perde una dimensione e si riduce ad una superficie anulare, 

 la quale, per essere ulteriormente ridotta, richiede un punto di sezione corrispondente ad 

 una sezione lineare. Allargando questo buco indefinitamente sinché i suoi bordi risultano 

 dalle parti opposte infinitamente vicini, la superficie anulare perde un'altra dimensione 

 c si riduce a due linee circolari, una delle quali ha il centro comune coll'anello, l'allra 



