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x n 



e di dividerla sicché il summo termine sia . Adesso ella può esser definita per l'ugua- 



te xt "=? 



glianza — - == / /(« • ®) t n > ove %(n , x) denota la cangiata forma della funzione 



e ~ 1 n=0 



Bernulliana. Dalla uguaglianza definitrice si ricavano facilmente le forinole 



^ X(* > x ) = X(n — 1 , x) , %(n , 1 — x) = (— \) n %(n , x) , 



t n — 1 



y(n , 1 + x) — y(n ,x) = — — , ecc. 



/tv ' ' ' * K ' ' II(n—\) 



La funzione Bern. è secondo Raabe Jl(n — 1) . (%(n , x) — %{n , 0)). Il Raabe à dato alla 

 uguaglianza definitrice de' numeri Bern. un termine complementare che mi pare esser 



di grand importanza. Se %{1 ,0) = - § , X (2ri , 0) = (- l)"- 1 -^t- , X (2n + 1 ,0) = 0, 



quella uguaglianza è 



Se si sostituisce ut— invece di x , e se vi è un 



òx 



/ 3 \ 

 oggetto le — 1 ) f{x), ne risulta 



la forinola d' integrazione approssimativa col termine complementare. Moltiplicata con 

 e x — 1 , se poi si pone x = i . 2rn (r = 1 , 2 , ... , — 1, — 2,...), essa somministra il 



valore di I e ,ir7r< /(« ,t)dt , vale a dire, l'evoluzione 



•Jo 



X(n , x) = — r^-^ y_ r~ n cos ^ 2mx — J (0 < X < 1) , 



f'A 



e quindi mediante cotg rci . sen 2rnt . di = j 



r 1- * 2 r ^ / W7i\ 



I (*(» + 1 , X + £) — #(m + 1 , x)) cotg nt.dt=- ("g— 2_ r '~ n " 1 cos ( 2rna> ~ Y) ' 



ma « A=n 



Sia -| — -= / %(h , x) y*- -\- H- , il termine complementare sarà 



R 



= ~~ y H+1 e y ' l ( f g e ~ Vt x<<n ' ^ lit + f eVt x{n ' 1 — ^ rfc ) 



Comparando i cotffìcienli di y m + n nella evoluzione secondo le potenze ascendenti di y, 



J—i 

 X(m ,tì y,(n ,t) dt , e quindi 

 



per m = n . 



B„ = JI(2»ì. | x*(n,t)dt, 



espressione di B» in funzione di B, , B s , ... Bn ovvero B n -i , mentre che le formole di 



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