— 521 — 



Kaabe, provenendo dai coefficienti di x n nella evoluzione ascendente delle uguaglianze 



X (2n+\..c ) / (2» + l,l-.c) _ X (2n—\,x) X (2n—Ì 

 (1 — x) n + l (1 — xY+ l ' (1 — ,(•)"+' (1 — x) n + l 



stabiliscono una relazione fra i numeri Bern. della seguente metà con esclusione di quei 

 della precedente metà. 



Se (1 -f- x) n = / (?) afi , che a 1 ,a ì ,...a n denotino numeri interi non negativi, 



J,=o ^ 



la somma de' quali sia un dato m, partito cosi in tutti i modi possibili, permutazioni 

 ammesse, e che sia u = x t -f- x 2 \-x„, la somma di n variabili; allora 



j»— m— i ^ M | j 



> . CBt) - Xi«n , Sin) = } u n-,n-l > Se m < 71 ' 



ma 



Sia e 3 ' = cos a; -|- sin a? . e - x = cos a? — sin x , 6» = « — j— i/9 , ove a deve essere po- 

 sitivo e § reale o zero, (sin «) 2 > (sin /S)' J ; a un numero qualsivoglia; allora la forinola 



e a8 >T/2«-a 



X ( n a ) {2 C0S )" _sm- ' ■ 2 sin 6 



è convergente; essa è connessa col teorema di Sig. Prouhet, e mi ha somministrato lo 

 sviluppo 



J-» qo n=<x > >t=oo , . 

 e -*x oos8 + a 6 ^6 = V — fl )r(a — 2h) . # s "- a — y L — 7- A^», 



ove A n — ^ (1) — ; rr . Ora sia F(a , t) = ^~ — , : ; —, — ; ;— rr la serie 



+ » — 2A ,s ; r(» + l)r(a + n + l) 



sempre convergente, per mezzo della quale si può esprimere l'integrale dell'equazione di 

 Riccati ; posso rappresentarla per un integrale definito convergente qualchesia a. Secondo 

 che f è positivo o negativo, si à 



F(a , a?*) = - or* j j e* xcos " cos a0 . de — sin arr . 6 - ° e dfl | , 



F(a, — x*) = -x~ a 2 

 » f 



I '*cos ^2,c cos — "~- ^ cos afl . rf6 — si i) arr . P e - >sin9 - 09 dej . 



Colle stesse notazioni ch'Ella à adoprato in « Trasformazione di un prodotto di n 

 fattori», sia = N_ ( - l)i X A™(1 ,2,.. A). Allora 1-J k S" +2r è l'aggregato di tutti 



quei termini dello sviluppo di (a, + a 2 + ••• -J- a„) H+2r , nei quali non si trova alcuno 

 esponente pari; ma J^' l+ " r_1 = . 



Bern den 17. Aug. 1865. 



L. SCHLAFLI. 



