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Caro Signore! 



Bramando di comunicarle alcune riflessioni ch'à cagionate la lettura delle sue 

 istruttive memorie sull'uso dell'indice fratto di derivazione e sul moto dei liquidi prima 

 di aver ricevuta la sua pregiatissima lettera, comincio dal rispondere ad una domanda 

 ivi contenuta. La biblioteca publica a Berna non abonda in giornali matematici, ed io 

 non 5 mai avuta un'altra occasione di vedere un giornale Napoletano ; mà ò investigato 

 l'eq. (58 e 59 pag. 41 Quadr.), la quale mi apparve affatto nuova. Moltiplicata per 

 / q» —I— 2\ 



( — l) n+l 1 n ì e P onen< ^° w = « + 1 — ? , 'l = n-\-\ — k , essa prende la forma 



purché n + 2 sia un numero intero; mà tosto che n-\-\ = a è un numero qualsivoglia, 

 la forinola rimane convergente e si cangia in 



K ^ (a — — a \ sin an l a — 1 \ / — a — 1 \ 



\ i )\X + 1/ — an + \ m ) \ m — 1 / 



ossia lo che torna lo stesso 



(a + A — 1 V / l / s \ , sin an / T(m -f- a) T(m + 1 — a) ) 



(a) 



\- (a + A — l\( 7s W> slnffl7T (■, _ r{m + a)r{m + l - a )\ 



.— [ 2k /U+l/ a{l — a)n\ Tm.r{m+\) )' 



essa è adunque una formola complementare della serie relativa a »i = 0; e, siccom'ella 

 accenna, si dimostra subito pel prendere la differenza del secondo membro. Ma la ò pur 

 tentata in un'altra guisa. Voglia permettermi in seguito l'uso dell'abbreviatura [[i m 

 (espr.) per dire « coefficiente di t m u n nello sviluppo della espr. per le potenze e pei 

 prodotti di t,u ». Ora 



= a + »,-.u + 1 ,-(, + ^r = ,- 1 r-V(«7 1 )(^i^)(«;;)^ 



= (- + ( a )( m —? i ) = ~ ( OT _|_i)( m )■ 



Supposto ciascun dei valori assoluti di il e ài — minore di 1 , gli sviluppi (alternanti) 



per le potenze ascendenti di u, di t, di t—^—, di — : saran tutti inevitabili (di 



U 11(1 -j- t) 



necessità), e perciò l'impiego del principio della identità è permesso. 



(7£ (I _i_ 2 \ 

 n -4- 1 / ' eC °' 



Prendendo il partito del Lagrange contro gli avvisi adesso predominanti io sono 

 persuaso che spesso viene adoprato il calcolo differenziale laddove il figuramento (più 

 algebraico) dello sviluppo ci menerebbe più facilmente allo scopo, oltreciocch'esso è la 

 sola aita quando siamo abbandonati dal teorema di Taylor. 



