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Per 6 — la serie è divergente; se 6 = x-\-iy, ove x deve e y può esser positivi, la 

 condizione della convergenza è sin .-r> sin?/, cosicché l'impiego alle funzioni propria- 

 mente goniometriche è proibito. Formando dietro la (ci l'espressione di e to_f_l) ® — 1)& 

 e dividendola per 2 sin 6 , ne segue 



(d) e"* = V ( 2n ~ n \(2 cos ; 



convergente per 6 = 0. 



Se a è un intero positivo, | *^ a ^ svanisce nell'intervallo ^^w<!« e per 

 /2n — a\ 



n = a -f- m si cangia in I 1 ; quindi il valore della serie (e) iovo la lacuna è 



e — «6_ Tolta questa serie infinita, il rimanente diviso per 2 sin diventa 



V (— ' T ( a ~~ ~~ } \ (2 COS f»«-*-*n 



— V a — 1 — 2nf 



sin atì 

 sin 6 



la qual formola ammette il cangiamento nei seni e coseni circolari e indi può esser fatta 

 coincidere colle formole note, contenute nella (b). 



Se = — , il primo membro svanisce; e la serie 1, cos 2 — , ... rappresentando un 

 a a 



poligono regolare di a lati ed.i poligoni inscritti, abbiamo la formola di Prouhet in un 

 caso particolare. Ma poiché nel caso generale le aree dei poligoni sono funzioni lineari 

 ed omogenee degli Ai , A a , ... e A r =0 ovvero A r +A r + I =0 secondo che 2r ossia 

 2r — f- 1 è il numero dei lati, si tratta di una eliminazione, cioè dell'esprimere A r linear- 

 mente pei poligoni. Gli Ai , A a , ... assorbendo tutta la spezialità del caso (a parte il 

 numero de' lati), i coefficienti trovati pel caso del poligono regolare continuano di sus- 

 sistere nel caso generale. 



Vengo a sporre l'asserita coerenza dello sviluppo (c) colla equazione di Kiccati. 

 Se questa è messa nella forma du + t~ a ~ l w 2 dt = t" dt , e che F(« , t) dinoti la serie 



sempre convergente > — ; — ; — tt — ; : ; — — , la soluzione generale di quella è 



Al"* 1 Ffg -f 1 , t) -f B F(— n—l.t) 

 U ~ AF(«,t)+Bf-«F(-a.O 



ove — è la costante d'integrazione. Quindi sorge il problema di esprimere F(a , t) per 



mezzo d'integrali sempre convergenti. Poiché F(« , t) e t~ a F(— a , t) sono due soluzioni 

 indipendenti tra loro dalla equazione 



(1) ;-p + (a + n^--.v = o. 



oppure 



(2) »U + (2«-]r 1)^-^=0, 



ove t — X 1 , cerchiamo a soddisfare a queste equazioni con integrali definiti della forma 

 ^e~ tu f(u) du , fissando convenevolmente i loro limiti, dietro un noto metodo onde com'io 

 credo Euler il primo s' è servito. La forma (1) fornisce la soluzione 



roo 

 e~- x c « s + a6 dd , 



