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(2) fornisce le quattro soluzioni 



(B) y == PV*ou8 siir a e de , (B') y = ^"'"J *« ,a, cos 6 sin _,a fl d6 , 



e-** case s j n g ^0 ( (C) y = ,c~- a e- 2xc0s( > sm--"6 dtì , 



Nel caso , — | <# < § valgono tutte le cinque soluzioni, mentre non più di due 

 ne possono essere indipendenti. Egli si tratta adunque di ridurre ciascuna d'esse alla 

 forma AF(a , t) + Br" P(— a , t) . 



Se V n= g-aa; oos -i- 08 ^0 (i a componente reale di # supposta positiva), la solu- 



zione (A) si è y = aT" a (V + V_o). Svolgasi e a9 dietro la (c) e pongasi 2xcosH = u, 

 otterremo 



V a = y ( ~ a } .V*"- a | °° e~» M"-^- 1 rf M ; 



( — (2x) m+a ~ %n 



l'integrale à per valore r(a — 2») — > — r- — : — . Quindi ponendo 



6 r — r(m-\-l) m-{-a — 2n 



per brevità A m = > A m I ) — : — (convergente come 2n 2 ) , ricava 



— ■ \ w / a + ?w — óìi 



n=0 1 



m= ^° I 1 



(3) V« = ^— tf-a F(- - > A w r \~ ' x m . 



sin flTi — r (m + 1 



(Il seguito ci mostrerà che la somma nel secondo termine converge). La (c) offre il mezzo 

 a trasformare A m in una somma finita. Sia 



f(a,m)—>[ )- : — — , sarà — t(a , m) = e a< H2 cos 6) m , 



ri 



la quale avrei da integrare sviluppando ( e 9 -f- <? — 9 ) m . Ma l'incertezza della costante d'in- 

 tegrazione mi costrinse a fare un lungo giro. Mediante due relazioni più semplici per- 

 venni alla relazione 



(m- — a 2 ) f(a , m) = im(m — 1) f(a , m — 2) — <? a0 (2 cos 0) m (a — m tang 6) , 



che dà immediatamente f(a , 0) , f(a , l), e poi mediante queste successivamente f(a,2), 



f(a , 3) , ... L'integrale ^iT^ ; — ~ g(a+.m— «X)8 coincidendo per w = , 1 con 



' v ' " ° -j- \ A / « + m — 2A ' 



/( a , m) e soddisfacendo alla medesima relazione finita, non si è da dubitare che ambedue 

 non siano uguali. Indi per 6 = 



X ^ /m\ 1 (— 2) m C 71 



k m = > ( , ; 7^r=- ~ cos'» cosa 6. dd 



4— \ / / a + m — if. sin un L 



\=0 



Da qui si vede che la somma in quistione converge, purché a non sia intero. 



