— 527 — 



la (8) dalla (7), nemmeno connettere la (5) colla (8), benché fui sorpreso dalla loro 

 similarità. 



So per altro bene ehe la funzione F(a , t) non è altro che un caso particolare della 

 serie ipergeometrica di Gauss, il quale riede in più occasioni ed era più facile da trat- 

 tarsi che quello generale. Un grande inconveniente delle soluzioni di equazioni differen- 

 ziali per integrali definiti è la loro stretta limitatezza e cagiona il naturai desiderio di 

 dilatare il loro dominio. Perciò mi rincresce di non aver riuscito a tradurre tutte le tre 

 forme di soluzioni l'una nell'altra senza lasciar la forma di integrale definito. 



Altre volte l'indice fratto di differenziazione mi sembrava sospetto; ma adesso la 

 lettura della sua memoria, soprattutto la dilucidazione pag. 6 dopo l'eq. (3), me ne à 

 dato una esatta idea. Mi figuro che si tratta di riunire nella medesima formola la ugua- 



glianza fornita dal complemento della serie di Taylor T>~ n f[x) = J f(t)dt 



(per un'intero negativo — n) e D n f(x) riguardato come 



r { „ + 1) X [W • + *)"= y^ffl» + V - 



ove h trascorre dei valori imaginari attorno zero con fase crescente e riede al punto 



+ 1) C 



da cui è uscito. Questo integrale si può scrivere — —. I (t — x)~ n ~ l f(t) dt , purché 



* m Jx 



il giro che fa t attorno x non inchiuda un punto di discontinuità di f{t). Il luogo nel 

 piano (rappresentante i numeri imaginari), dove ambedue limiti dell'integrale si riuni- 

 scono, punto di partenza e di giunta, è irrilevante finché n sia intero positivo ; ma 

 tostochè n diventa fratto, il valore dell'integrale dipenderà essenzialmente dalla scelta 

 di quel punto di partenza. In questo dubbio la decisione vien recata dalla prima formola 

 relativa ad un indice intero negativo: « zero deve essere il punto di partenza », poiché 

 ambedue formole convergono nella sola 



D™f(x) = F{ \'^ m) J(t - x)-" 1 - 1 fti) dt , 



ove per ora mi figuro x esser positivo e (£ — x)~ m ~ l ricevere un valore positivo nel 

 momento ove t — x passa sul valore positivo, di modo che — n sarà la fase di partenz a 

 per t — x e ti quella di giunta. La formola di definizione cos'i rappresentata offre il 

 vantaggio di ammettere la differenziazione ordinaria sotto il segno d'integrazione, giacché 

 il cammino della variabile ausiliaria t non tocca x; (e non formerei il cammino come 

 un cerchio avente x per centro e passante per 0, perch'esso potesse inchiudere un punto 

 di discontinuità di f{t); ma se nell'intervallo reale 0<it<ix la funzione non si espone 

 ad alcuno sturbo, meno t su per la via reale fino a piccola disianza di x, indi in un 

 piccolissimo giro attorno x , e poi lo riduco per la stessa via come dianzi a zero); mentre 



la rappresentazione equivalente — ~r- ^ \ t~ m ~ l f (x + 1) di (la quale per lo svi- 



2in J 



luppo Taylorico di f(x + 1) diventa formola (1) pag. 6) nei suoi limiti pregiudica la 

 differenziazione, e lo sviluppo Taylorico torna divergente quante volte un ostacolo alla 

 funzione f(t) si trova più vicino di x che di zero. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 67 



