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Fin qui b tacitamente supposto x = come limite inferiore alla espressione J) m f(x). 

 Se al disotto si dinota la variabile ohe deve svanire al limite inferiore, si à 



DVM-JM*> = rT bo f V«)* = | r( t; a i7+ 1) D-^'°»- 



Così penso potersi definire la funzione complementare. 



Se nella vicinanza di x = 0, f(x) è Tayloricamente sviluppabile, si à 



~ — rp\ — m 



la quale espressione diviene infinita quando m^>0; e perciò ^(J) m f(a>)) dx non è da 



integrarsi quando m ]> 1 ; ecco la ragione perchè, se m — 1 , n sono politivi, si à 

 D" l (D~" f{%)) = D m -" f{x) , ma non = D~ n (\)' u f{x)) . La uguaglianza 



r(?H-g) r(m + r + 1) 



él V * + * r(m + W + r + ? + l) 



(verso il fondo della pag. 15) manifesta lo stesso, perchè la convergenza del primo membro 

 richiede m-f)'>-l, perchè r parte da zero, . , 



1 C u 



Per w>>0 ò riuscito a dimostrare che se 9^ U ) =B '^^ \ ( u — t) n ~ l f(t) dt , sarà 



r(l+m) 



2in 



J(u - x)- m ~ l g(u) du = f(1 + * W - J~(t - «)—•»-• AO * 



ma per poter inverter l'ordine delle due integrazioni io era costretto a considerare 

 (1 — e s »<«->»>7r) X il presente integrale doppio. 



Il moto dell'acqua nei vasi di rivoluzione mi à invece fornito un'esempio ove la 

 forinola quistionevole D 2 (D _ ^ a ) = D - '^ 2 (D 9 ) è in fallo. Sia 



1 n _ i <p (a + i jx) + <p{a — i ]/x) 



f=— 7=D~2 {<p{a + i\/ x) — cp(a — i\f x)) , 

 2tyn * 



sarà — + 4x r— - = (Moto p. 26, eq. (44)). Volendo verificar questa eq. se ammettiamo 



t)d óX 



nel secondo termine £) — /a(D 2 ), avremo 



mà impiegando D 2 (D""^ a ) = D 3/il otteniamo 



D- * (*"(« + i V*i - <*>"(« - ifi)) +~7= (<P (« + i Y*l. - tp (a - i fili) 

 2i\n iyx 



vfi 



= £ £ | J 4£L Ma + i i/o + -^n)+ 



(9 {a-\-ifi) — tp{a — ifi))\dl = 0. 



